第二节传递函数.ppt

Wednesday,September23,20201第二节控制系统的传递函数Wednesday,September23,20202传递函数的基本概念传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。Wednesday,September23,20203系统或环节的微分方程为：式中：x（t）—输入，y（t）—输出为常系数)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn)~0,~0(,mjnibaji一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）])[(])[(0011bsbsXasasasYmmnnnn011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm)()()(sXsYsG称为系统或环节的传递函数，即：环节的传递函数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s)X(s)。通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。传递函数的基本概念Wednesday,September23,20204传递函数的基本概念[总结]:传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导数用各阶s代替即可。即：nnnsdtdsdtd,...,Wednesday,September23,20205传递函数的基本概念||例2-8运放Ⅰ：11111)()()(),()(ksUsUsGtuktuee运放Ⅱ：)1()()()()],()([)(21221122sksUsUsGtutuktu功放：32323)()()(),()(ksUsUsGtuktuaa[例2-8]求速度控制系统的传递函数。[解]各环节的微分方程和传递函数分别为：直流电动机：)1)(()()1)((2sTsMksUksTsTTsacmaummaWednesday,September23,20206传递函数的基本概念||例2-8上式有两个输入量，而传递函数只能处理单输入-单输出系统。对于线性系统，可以将多个输入分别独立处理，然后叠加起来。下面分别讨论两个输入单独作用时的传递函数。令，得转速对电枢电压的传递函数：0)(sMc1)()()(2sTsTTksUssGmmauau令，得转速对负载力矩的传递函数：0)(sUa1)1()()()(2sTsTTsTksMssGmmaamcm最后利用叠加原理得转速表示为：)()()()()()()()()(sMsUsGsGsMsGsUsGscgmucmau反馈环节：fffffkssUsGtktu)()()(),()(Wednesday,September23,20207'8求下图系统的传递函数。RLCouiui方法1：见例2-1求上式的拉氏变换，得：)()()()('''tututRCutLCuiooo11)()(2RCsLCssUsUIO传递函数为：12111)()(0RCsCLsCsCsLsRsUsUi传递函数的基本概念||例2-8a方法2：复阻抗（电阻、电容和电感）分别为。则：)()(1)()()1(0sUsICssUsICsLsRiLsCsR、、1Wednesday,September23,20208传递函数的基本概念||例2-9[例2-9]求下图的传递函数：)(tuii1R0RB2i2R2C)(0tuB为虚地点，所以,0BV21iiSCRsURsUi22011)()(所以：SCRSCRRSCRsUsUsGi2122122011)()()(Wednesday,September23,20209传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对于大多数实际系统，分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念[关于传递函数的几点说明]Wednesday,September23,202010传递函数的表现形式[传递函数的几种表现形式]：表示为有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba,表示成零点、极点形式：)()()()()()()(11jnjimignmpszsKsPsQabsXsYsGizjp式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。nmgabK—传递系数（零极点形式传递函数增益）Wednesday,September23,202011传递函数的表现形式写成时间常数形式：njjmiisTsKsPsQabsG1100)1()1()()()(jiT,分别称为时间常数，K称为放大系数显然：,1iiz,1jipTjnjimigpzKK11Wednesday,September23,202012传递函数的表现形式若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：21,pp222121))((1nnsspsps或：121)1)(1(12221TssTsTsT21pp、其中系数由或求得。、n21TT、同样，共轭复零点可表示如下：22212))((nnsszszs12)1)(1(2221TssTsTsT或：Wednesday,September23,202013传递函数的表现形式若再考虑有n个零值极点，则传递函数的通式可以写成：从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。)2()()2()()(221122112121lllnljnjkkkmkimigspssszssKsG,221mmmnnn212式中：)12()1()12()1()(221122112121lllnljnjkkkmkimiTsTsTssssKsG或：比例环节积分环节惯性环节二阶微分振荡环节一阶微分Wednesday,September23,202014比例环节二、典型环节及其传递函数典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零、极点分布。比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：0),()(ttkxtyksXsYsG)()()(时域方程：传递函数：Wednesday,September23,202015积分环节有一个零值极点。在图中极点用表示，零点用“”表示。k表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：ttdttxkty00,)()(TssksXsYsG1)()()(时域方程：传递函数：0S平面j0)(1)(ttxkty)(tytReWednesday,September23,202016积分环节实例积分环节实例：①RCiuouCsoisuRsu1)()(RCssusuio1)()(图中，为转角，为角速度。'iku'tidttku0)(可见，为比例环节，为积分环节。iu~'iu~②电动机（忽略惯性和摩擦）iu'齿轮组Wednesday,September23,202017（三）惯性环节时域方程：0),()()('ttkxtytTy传递函数：1)()()(TsksXsYsG当输入为单位阶跃函数时,有，可解得：，式中：k为放大系数，T为时间常数。ktytTy)()(')1()(Ttekty惯性环节当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的斜率为1/T。只有一个极点（-1/T）。jRe0S平面T100.20.40.60.81)(tytT0.632原点处斜率为1/TWednesday,September23,202018求单位阶跃输入的输出响应的方法：,1)(,11)()(ssXTssXsY)11()1()(1TsskTssksY)1()]([)(1TteksYLty可见：y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的单位阶跃响应Wednesday,September23,202019①R2Ciuou-+R1CsRRZRCsRCsRZRZ2222222111,111,而CsRsUsUZUsZsURRioi22011)()(,)()(12R②Ciuou11)()(,)()(11RCssususuRsuioCsoCsi两个实例：惯性环节实例Wednesday,September23,202020振荡环节（四）振荡环节：时域方程：)()()()(00'1''2txbtyatyatya传递函数：121)(220122001220TssTkasasaakasasabsG上述传递函数有两种情况：当时，可分解为两个惯性环节相乘。即：)1(,)1)(1()(22,121TTsTsTksG)1(122,1Tp1传递函数有两个实数极点：Wednesday,September23,202021振荡环节分析[分析]：y(t)的响应过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当时，曲线单调上升,无振荡。当时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。n110若，传递函数有一对共轭复数极点。传函可写成：2222)(nnnsssG10)2()()()(222nnnssssXsGsY对阶跃输入：0),11sin(11)(2122ttgtetynt单位阶跃响应曲线mIeR0n21nj21nj极点分布图0tx(t)y(t)Wednesday,September23,202022解：当时，有一对共轭复数极点。所以：,'''FkxfxmxkfsmssFsXsG21)()()(042mkf,1)(2mksmfsmkksG,2,2mfmknn解得：mkfmkn2,[例]：求质量-弹簧-阻尼系统的和。（见例2-2，p11）n振荡环节例子Wednesday,September