初一数学绝对值的最值问题

1绝对值的最值问题xaxb的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、数b两点的距离之和，其中数a、数b的对应点为数轴上的一个定点，数x的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．如计算x1x2的最小值．（1）将使两个绝对值分别为0时的x值标在数轴上（如图），数轴被分为3个区域；（2）假设代表动点x的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即S1S2．（3）在3个区域中分别画出线段并比较，可以发现当1x2时，两线段和最小，为定值1．若将题目改为计算x1x2x3的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当x2时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．经过总结归纳我们发现了这样的规律：①对于代数式：xa1xa2xa3xan（a1a2a3an）：当n为奇数时，在12nxa处取最小值，即在n个点的中心点处；当n为偶数时，在区域122nnaxa取最小值，即数轴被n个点分成1n段的中心区域．②对于代数式112233nnbxabxabxabxa的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123nxaxaxaxa（123naaaaL），然后通过上述方法求解．如：111212222222xxxxxxx．常见题型：绝对值的最值问题易错点：混淆两种情况中考回顾：拓展知识点2例1计算下列式子的最小值：（1）212xx（2）241xx例2已知759x，求x取何值时13xx的最大值与最小值．3参考答案1.【答案】（1）当1x时，212xx取得最小值1（2）当2x时，241xx取得最小值3【考点】绝对值最值问题【解析】结合数轴，利用绝对值的几何意义求解；也可以利用零点分段法．（1）当1x时，212xx取得最小值1；（2）当2x时，241xx取得最小值3．2.【答案】当53x时，最大值为4；当79x时，最小值为329【考点】绝对值最值问题【解析】①数形结合，利用几何意义：13xx表示x到点1和3的距离差，画出数轴我们会发现当79x时两者的距离差最小为329，即min32139xx；当53x时，两者的距离差最大为4，即max134xx．②零点分段法：先找零点，根据零点分段，当53x时，134xx；当739x时，1322xxx，当79x有最小值329；当3x有最大值4．综上所得，当53x时，最大值为4；当79x时，最小值为329．