大学物理第六讲-势能、功能原理、机械能守恒-(1)

11.几种常见力的功初末一、保守力与非保守力重力的功◎重力的功与路径无关，仅与物体始末位置有关。§3-5势能、功能原理、机械能守恒FmgkdAFdSmgdz()bahababhAmgdzmghhababAmghmghahbhaboyxzdSF2初末弹力的功与路径无关弹力的功设弹簧为原长时其末端位置为坐标原点o，则FkxidAFdSkxdx221122babxababaxAdAkxdxkxkx221122ababAkxkxk0laxbxoabFx3万有引力的功◎万有引力的功与路径无关。初末设M相对于m静止.2ˆmMFGrrcosdAFdsFds2cosFdsFdrmMGdrrbabaAdA()()ababmMmMAGGrrabmMarbrrFdsdr一对相互作用力的功只决定于两者间的相对位移.4摩擦力的功◎重力、弹力、万有引力做功与路径无关；◎摩擦力做功与路径有关。结论：与路径相关rLLAfdSNdSLmgdsmgLrfvmLS0FdsF5做功与物体运动的具体路径无关，而只取决于物体始末位置的力称为保守力。2.保守力与非保守力重力、弹力、万有引力、静电力都是保守力。◎保守力沿任一闭合路径做功为零：a是保守力充要条件●做功与路径有关的力称为非保守力。◎与热现象相关的力往往是非保守力。()()0aaaaFdsFdsUrUr()AUr保221122abababAmghmghAkxkxMmMmAGGrr重弹万6二、势能保守力做功做功能量变化：某种能量与位置相关势能（位能）保守力做功等于其相应势能增量的负值()mgh212()kxMmGrAU保U()UUrpE21)pppAEEE保（7某点势能的定义保守力场中某点a的势能等于将质点从该点移到势能零点（参考点）时，保守力所做的功。理由：只有保守力的积分才与路径无关，当参考点选定后积分的值才是唯一确定的，才能引入与位置对应的势能的概念。●只有对于保守力，才有势能的概念。注意：aPaaEAFdr参保参8势能的计算通常以地面为势能参考点，向上为正向.常以弹簧的原长位置为势能零点，则1.重力势能2.弹性势能0aPahEFdrmgdymgh参0212aaPaxEkxdxkxoyabhmgF0loax9势能零点3.万有引力势能势能的值是相对参考点而言的。讨论：任意两点之间的势能差是唯一的。势能属于相互作用的物体系统。2aaparMmEFdrGdrraMmGrFaraMˆrom1h2habo10pE重mghoh0,0phE三种势能曲线pE弹212kxox0,0pxEpE引rMmGr,0prEo111.质点系的动能定理●适用于惯性系中任何机械过程。三、功能原理质点系动能定理：对质点i应用动能定理：对整个质点系求和：2201122iiiFfkiiiiiAAAEmvmv220111111=22iinnnnFfiiiiiiiiAAAmvmv总kAAE外内1F2F3FiFif1f2f3fim1m2m3mim122.功能原理内力:非保守内力保守内力所以质点系的功能原理:机械能kAAE外内pAE保内AAA内非保内保内kAAAE外非保内保内2121()ppkkAAEEEE外非保内2211()()kpkpAAEEEE外非保内21AAEE外非保内kpEEE13◎A非保内如系统内物体间的摩擦力做的功。●只有外力及非保守内力才能改变系统的机械能。●功能原理与动能定理并无本质差别，只是功能原理引入势能差而取代保守力的功。讨论21AAEE外非保内14二、机械能守恒定律●机械能守恒定律是能量守恒定律的特例。当即恒量能量守恒定律—能量不能消灭，也不能无中生有的产生，而只能从一个物体传给另一个物体，从一种形式转化为另一种形式。21AAEE外非保内0AA外非保内21EEkpEEE15例：质量为m，长为L的链条放在平台上，静止时下垂部分长度为l0。设链条与平台的滑动摩擦系数为，求：(1)从初始到链条全部离开平台时摩擦力做的功；(2)链条刚离开平台时的速率。解：(1)当下垂部分长为s时，摩擦力摩擦力做功1()rmfmgLsgL0()LrrlmAfdsLsdsL0220[]()22LlmgsmgLsLlLLrfLs1mgos+s2m0Ll0l+so16解法一：对链条应用动能定理。重力做功（2）求链条离开平台时的速率解得2102PrAAAmv02220()2LPlmmgAPdssgdsLlLL222200()()1222mgLlmgLlmvLL22200[()()]gvLlLlL20()2rmgALlLLsrf2P1mos+s17解法二：用功能原理解以平台为重力势能零点，则21rAAEE非保内01111002kppmlEEEElgL2222122kpLEEEmvmg220001()2222LmlmgmvmglgLlLL22200[()()]gvLlLlL20()2rmgALlL0Ll0l+sorf2mg1m18解法三：依牛顿定律列方程求解积分得22200[()()]gvLlLlL00[()]vLlsgvdvgLsdsLL[()]sgvdvgLsdsLL()mmdvsgLsgmamvLLds22mgTma11Tmgmarf1mos+s2mgTTa19例：宇宙速度第一宇宙速度●物体绕地球作圆周运动所需的最小速度此时M和R分别为地球质量和半径。17.9km/sGMvR212GMvmgmmRR20解释：逃离时，（势能最大值），又因v逃离地球所需的最小速度，即对应逃离时由机械能守恒得物体在地球表面时的机械能初态能●物体逃脱地球引力所需的最小速度。第二宇宙速度逃离地球时的机械能末态能2112MmEmvGR2220kpEEE211.2km/sGMvR2pMmEGr22212kEmv2,0prE20.kE21当星球密度足够大，使，则任何物质（包括电磁波）都不能从该星体逃出，称该星体为黑洞。◆物体脱离一个质量为M，半径为R的星球的引力时所需的最小速度为黑洞是大质量恒星在一定条件下演化的结果。恒星通过其内部的热核反应不断燃烧演化。若恒星晚期经过质量抛失后所剩余的质量大于3倍太阳质量，则就具备了坍缩为黑洞可能性。黑洞◎在“吞噬”周围星体的过程中，黑洞附近有大量X射线辐射，人们正是依此来发现黑洞的。坍缩核质量小于1.4倍太阳质量—白矮星；2-3倍太阳质量—中子星。2GMvR逃vc逃22地球是行星，无恒星那样的燃烧演化过程，当然更说不上成为黑洞。但若不恰当地仅从密度上考虑，假设要使地球成为黑洞，则其体积需缩小到约1cm3!太阳属于小质量恒星,不可能演化为黑洞。根据太阳的质量条件，推算出太阳晚期演化的结局是白矮星（质量在1至8倍太阳质量的孤立恒星也是如此）。当太阳到达终极的白矮星之前，将有一剧烈膨胀阶段，变为一个巨大的红色火球—红巨星，此时太阳的体积将增大10亿倍！到时地球将完全被这一火球所吞没，太阳红巨星阶段的半径将超过目前地球的公转轨道半径（1.5亿公里）。太阳的主序阶段（内部热核反应结束之前）有100亿年，现在已走过一半。平均说，每个质子要等140亿年才能与另外3个质子聚合成一个氦核，所以恒星能够有很长的主序阶段。23例：弹簧上端与质量为M的平板连接并处于平衡状态。一质量为m的泥块距板高为h处自由下落并与板发生完全非弹性碰撞，求碰后泥块与平板一起向下运动的最大位移L。解：设板平衡时，弹簧形变为l0，则（1）设m刚落到板上时的速率为v，则由机械能守恒得0Mgkl212mghmvMmkh24（2）碰撞过程可忽略弹力和重力的冲量，则竖直方向动量守恒v为碰后m与M的共同速度。（3）泥块与板向下运动过程中，系统（m、M、弹簧、地球）机械能守恒。解得：Mmkh()mvmMv22200111()()()222klmMvklLmMgL211()mgkhLkmMg25例：弹性系数为k的轻弹簧，下端挂一重物m而在位置o处于平衡。若此时给m一个向下的初速度v0，求弹簧由此向下的最大伸长量xm？当弹簧伸长量xm达最大时，有：解：设平衡时弹簧伸长量为x0，则：解得以弹簧、重物和地球为系统，则系统机械能守恒。势能零点取在o点,弹性势能零点取在弹簧原长位置。0kxmg222000111()222mmmvkxkxxmgx0/mxvmkmxmm0vxo