朝阳区2020届高三一模数学试题及答案

高三数学试卷第1页（共6页）北京市朝阳区高三年级高考练习一数学2020.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合1,3,5A，|(1)(4)0BxxxZ，则AB（A）3（B）1,3（C）1,2,3,5（D）1,2,3,4,5（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）3yx（B）21yx（C）2logyx（D）||2xy（3）在等比数列{}na中，11a，48a，则{}na的前6项和为（A）21（B）11（C）31（D）63（4）如图，在△ABC中，点D，E满足2BCBD，3CACE．若DExAByAC(,)xyR，则xy（A）12（B）13（C）12（D）13（5）已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D.若4AF，60DAF，则抛物线C的方程为（A）28yx（B）24yx（C）22yx（D）2yx(0,)EDCBA（第4题图）高三数学试卷第2页（共6页）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（A）23（B）25（C）35（D）910（7）在△ABC中，BCAB，120ABC．若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为（A）25（B）27（C）312（D）3（8）已知函数()=3sin()(0)fxωxφω-的图象上相邻两个最高点的距离为，则“6”是“fx的图象关于直线3x对称”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()2afx在R上恒成立，则实数a的取值范围为（A）(,2e]（B）3[0,]2（C）[0,2]（D）[0,2e]（10）如图，在正方体1111ABCDABCD-中，M，N分别是棱AB，1BB的中点，点P在对角线1CA上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（A）线段1CA的三等分点，且靠近点1A（B）线段1CA的中点（C）线段1CA的三等分点，且靠近点C（D）线段1CA的四等分点，且靠近点CPMNABCDD1C1B1A1（第10题图）高三数学试卷第3页（共6页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若复数21iz，则||z________．（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为．（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05．为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动．（14）已知函数()cos2xfxx．数列{}na满足()(1)nafnfn（*nN），则数列{}na的前100项和是________．（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4Cxyxy被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C关于直线yx对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）．其中，正确结论的序号是________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。0（第15题图）（第12题图）俯视图正（主）视图侧（左）视图32222高三数学试卷第4页（共6页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）在△ABC中，sincos()6bAaB=-．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若5c=，．求a.从①7b=，②4C=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，平面11ACCA^平面ABC，四边形11ACCA是正方形，点D，E分别是棱BC，1BB的中点，4AB=，12AA=，25BC=．（Ⅰ）求证：1ABCC^；（Ⅱ）求二面角1DACC--的余弦值；（Ⅲ）若点F在棱11BC上，且1114BCBF=，判断平面1ACD与平面1AEF是否平行，并说明理由．ABB1ECC1A1DF高三数学试卷第5页（共6页）（18）（本小题14分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，圆222:Oxyr（O为坐标原点）.过点(0,)b且斜率为1的直线与圆O交于点(1,2)，与椭圆C的另一个交点的横坐标为85.（Ⅰ）求椭圆C的方程和圆O的方程；（Ⅱ）过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线1l，2l，若直线1l的斜率为(0)kk且1l与椭圆C相切，试判断直线2l与椭圆C的位置关系，并说明理由.患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99高三数学试卷第6页（共6页）（20）（本小题15分）已知函数11exxxfx．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()fx的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x是()fx的一个零点，证明曲线exy在点00(,e)xx处的切线也是曲线lnyx的切线．（21）（本小题14分）设数列12:,,,nAaaa（3n）的各项均为正整数，且12naaa．若对任意{3,4,,}kn，存在正整数,(1)ijijk使得kijaaa，则称数列A具有性质T．（Ⅰ）判断数列1:1,2,4,7A与数列2:1,2,3,6A是否具有性质T；（只需写出结论）（Ⅱ）若数列A具有性质T，且11a，22a，200na，求n的最小值；（Ⅲ）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}SSSSSSS，且ijSS（任意,{1,2,,6}ij，ij）．求证：存在iS，使得从iS中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T的数列．