《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题五 解析几何第2讲

真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华第2讲圆锥曲线的基本问题真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华高考定位圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题.椭圆有关知识为B级要求，双曲线的有关知识为A级要求.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华真题感悟1.(2013·江苏卷)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________.解析由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±34x.答案y＝±34x真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华2.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27－y23＝1的焦距是________.解析由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.答案210真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华3.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.答案22真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华4.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组x2a2＋y2b2＝1，y＝b2，解得B、C两点坐标为B－32a，b2，C32a，b2，又F(c，0)，则FB→＝－32a－c，b2，FC→＝3a2－c，b2，真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华又由∠BFC＝90°，可得FB→·FC→＝0，代入坐标可得：c2－34a2＋b24＝0①，又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为c2a2＝23，则椭圆离心率为e＝ca＝23＝63.答案63真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：MF1＋MF2＝2a(2aF1F2)；(2)双曲线：|MF1－MF2|＝2a(2aF1F2).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(ab0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(焦点在y轴上).真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华3.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝ca＝1－b2a2；(2)双曲线：①e＝ca＝1＋b2a2.②渐近线方程：y＝±bax或y＝±abx.4.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点一圆锥曲线的定义和标准方程【例1】(1)(2016·天津卷改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________.(2)(2016·北京卷改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解析(1)由题意得c＝5，ba＝12，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.(2)由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.答案(1)x24－y2＝1(2)12真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|＜F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练1】(1)(2015·福建卷改编)若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2等于________.(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解析(1)由双曲线定义|PF2－PF1|＝2a，∵PF1＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴PF2－PF1＝6，∴PF2＝9.(2)∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3.答案(1)9(2)(－1，3)真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________.(2)(2016·北京卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解析(1)设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2（a－c），又B，D，M三点共线，所以m2（a－c）＝ma＋c，a＝3c，e＝13.(2)取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝OB＝22，又∠AOB＝π4，∴ba＝tanπ4＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案(1)13(2)2真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练2】(1)(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________.(2)(2016·山东卷)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解析(1)∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝c2a2＝m＋m2＋4m＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.(2)由已知得AB＝2b2a，BC＝2c，∴2×2b2a＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2ca2－3ca－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).答案(1)2(2)2真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点三有关圆锥曲线的弦长问题【例3】(2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华则x1，2＝2k2±2（1＋k2）1＋2k2，C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且AB＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝22（1＋k2）1＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华从而k≠0，故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，则P点的坐标为－2，5k2＋2k（1＋2k2），从而PC＝2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）.因为PC＝2AB，所以2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）＝42（1＋k2）1＋2k2，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练3】设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF→＝2FB→.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB＝154，求椭圆C的方程.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.(1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.联立y＝3（x－c），x2a2＋y2b2＝1，得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.解得y1＝－3b2（c＋2a）3a2＋b2，y2＝－3b2（c－2a）3a2＋b2.因为AF→＝2FB→，所以－y1＝2y2，即3b2（c＋2a）3a2＋b2＝2·－3b2（c－2a）3a2＋b2，得离心率e＝ca＝23.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)因为AB＝1＋13|y2－y1|，所以23·43ab23a2＋b2＝154，由ca＝23，得b＝53a，所以54a＝154，得a＝3，b＝5，故椭圆C的方程为x29＋y25＝1.真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华1.椭圆、双曲线