浙江省普通高中课程数学必修一对数与对数运算

对数运算性质一、复习回顾1、对数的定义:ab=N(a0且a≠1)则b=logaNlog2log10,log1,aaaNaaN、性质:3.常用对数与自然对数的定义:(1)以10为底的对数叫做常用对数.为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.(2)以e为底的对数叫做自然对数.为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.底数a的取值范围:真数N的取值范围:10aa且),0(　　　　　　　函数)17(log,)20(2)2)(3()(2fxxxfxfx知识探究思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232，log24，log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考3:如果a0，且a≠1，M0，N0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴MN=paqaqpaqpMNalog即证得logloglogaaaMNMN对数的运算性质证明:logloglogaaaMNMN4.对数的运算性质logloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglog()naaMnMnR如果a0，且a1，M0，N0有：说明:2)有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,＋∞)4)注意log()aMNloglogaaMNlog()aMNloglogaaMN≠≠1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”…;注意M,N0证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴qpaaqpaqpNMalog即证得NMlogloglogaaaMMNN证明:aaaMloglogMlogNN注:证明：设,logpMa由对数的定义可以得：,paM∴npnaMnpMnalog即证得naalogMnlogM(nR)loglognaaMnM证明:几点说明1、公式中为什么加上条件M0,N0？这是因为为了保证所得结果中的对数都存在，例如：lg[(-2)(-1)]=lg2存在，但lg(-2),lg(-1)都不存在。2、公式要能够从左到右，从右到左熟练运用。3、由性质1可得1212log()logloglogaaaannMMMMMM1loglogaaMMloglognpaapMnM由性质3可得常用的两个结论lg2lg5lg104、注意把握运算性质的本质特征,避免犯下列错误。(1)log()loglog.aaaMNMN(2)log()loglog.aaaMNMNlog(3)log.logaaMaNMN(4)loglog()aannMMnR）（例题分析例1解（1）解（2）用,logxa,logyazalog表示下列各式：32log)2(;(1)logzyxzxyaazxyzxyaaalog)(loglog23logaxyzzyxaaalogloglog31212logloglogzyxaaazyxaaalog31log21log211232log()logaaxyz例2计算（1）（2）)42(log7525lg100解:)42(log752522log724log522log1422log=5+14=19解:21lg1052lg105255lg100解：3222lg5lg2lg5lg(54)(lg2)3原式22lg52lg2lg5(lg52lg2)(lg2)222lg10(lg5)2lg5lg2(lg2)22(lg5lg2)2213222(3)lg5lg8lg5lg20(lg2)3注:区分(lga)2与lga23例、计算下列各式的值(21)(1)log(21)54loglog57(2)2251(lg9lg2)2(3)100解：(21)(21)1(1)log(21)log(21)1451log5log7222(2)(2))(5原式12254log5log7455491(lg9lg2)22(3)(10)原式3lg2210)(3lg22(10)94注意：loglog10,log1,aaaNaaN的熟练运用2lglg2lg(2)log.xxyxyy例4:已知求的值.对数运算法则的综合运用,应掌握变形技巧:⑴各部分变形要化到最简形式,同时注意分子,分母的联系;⑵要避免错用对数的运算性质22lg()lg(2)(2)xyxyxyxy由已知得22540.xxyy20,20.xyxy2224loglog4log(2)4xy解：(-)(-4)0.4xyxyxyxy即或().4xyxy舍去即补充练习:若a0,a≠1,且xy0,n∈R,则下列等式:①②③④⑤⑥⑦⑧其中成立的有____________________________.xnxanalog)(log)(log)(lognanaxx)1(loglogxxaa)(logloglogyxyxaaanaaxxnloglog1nxxnaaloglog1yxyxyxyxaaloglognxnxaalog③⑤⑦⑧115:(1)lg(1),lg(1)lg2,lg7749(,)abab例已知求的值用含的式子表示解：8(1)lg3lg2lg77a①50lglg50lg4949b100lg2lg722lg22lg7b②由①，②解得11lg2(22),lg7(36)77abab四、课堂练习P68练习五、小结1、对数的运算性质。注意只有积、商、乘方才有运算性质，和、差没有2、对数运算性质在求值、化简中的运用，只有通过多做练习，才能达到准确、熟练，灵活应用公式（1）练习计算：9lg243lg3lg23lg525解：1023lg)10lg(32lg)3lg(2.1lg10lg38lg27lg)3(2213213253lg3lg9lg243lg)2(2.1lg10lg38lg27lg)2(12lg23lg)12lg23(lg2323其他重要公式1:NmnNanamloglog证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：,)(pmnaN∴即证得NmnNanamloglogmpnaNpnmNalogpnmaN其他重要公式2:aNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca证明：设由对数的定义可以得：,paN即证得pNalog,loglogpccaN,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog这个公式叫做换底公式其他重要公式3:abbalog1log),1()1,0(,ba证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得,1logbbaNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba