2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷答案

2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第1页共1页2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案2018.41、80．3,5,7,9,11,13,15,17C2、89（极化恒等式或建系）．3、由(1)(4)1fxfx得周期10T,所以11(2018)(8)(3)2fff．4、因为1sinsin2sin3coscos2cos3sinsin2sin3coscos2cos3sinsin2coscos2maxcos,cos31xxxxxxxxxxxxxxxxxx所以cos31x或cos1x．若cos31x，则sin30x，从而cos1x；若cos1x，得,xkxkZ，经检验满足条件．5、由题意可得()fxxax无解，不然2018()fxx也有解，所以14a．6、由22cos11q可得0,1,1abc，所以()21312fxxxx（几何意义易得）．7、由不等式1xxx得61101151[6][10][15]3061015xxxxxxxxxx即03x，再分段讨论可得最小解为15．方法2:设,,,[0,29]30kxmmkZk且,则原方程转化为[][][]532kkkkm，最小正解为0,6mk．8、1[sin1,2cos]2（周期为p，所以只需考虑[0,]xp上的值域，去绝对值后和差化积）9、7画图10、因为,,abc是整数，所以(0)1,(1)1fcfabc，且必存在0(0,1)x，使得2000()0fxaxbxc，消去,ac得22222200000000000(1)(1)(1)(1)(1)axbxcbcxbxcbxbxxcbxbxx故20014bxx，即5b．方法2：由题意可得2(0)1,(1)1,01,402bfcfabcbaca，消去,ac有240bb，解得5b．2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第2页共2页11、（1）1b，1()log1axfxx()fx的定义域为(,1)(1,)；（2）假设存在实数a，使得()fx的定义域为[,]mn，值域为[1log,1log]aanm，由mn，及1log1logaanm，得01a，∴()1log,()1logaafmmfnn，∴,mn是方程()1logafxx的两个根，化简得2(1)10axax在(1,)上有两不同解，设2()(1)1gxaxax，则(1)01120gaa，解得0322a．∴存在实数(0,322)a，使得()fx的定义域为[,]mn，值域为[1log,1log]aanm．2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第3页共3页12、（1）1()sin(2)62fxxpw，而周期22Tppw，所以1w，即1()sin(2)62fxxp，所以单调增区间为(,),36kkkZpppp；（2）由题意可得1sin(2)63pa，所以737sin(4)sin(2(2))cos(2(2))626692017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第4页共4页13、（1）令0xy得(0)0f；（2）令2xp有()()22fyfypp，即()fx关于2xp对称，令0x有()()0fyfy，所以()()0fyfyp，即()fx的周期为2p．又当(0,)2xp时，()()0fxfxp，故()0fx的根为xkp，由5(3)(2)2()cos022xxfxfxf得5()0cos022xxf或，所以+22,5kxkkZ或ppp．2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第5页共5页14、（1）设,0,cos,sinarbRR,其中12,23rR,则22222222(cos)(sin)(cos)(sin)2cos2cosababrRRrRRrRRrrRRrtbbbbbb记为则222222222222222()2()4cos2()2()52trRrRRrrRrRb222222222222222222()2()4cos2()2()4416trRrRRrrRrRRrRb故21652t，即4213t．方法2：如图,OBbOAa，即求2()OCCB的最值，当,ba定的情况下，C的轨迹是以,OB为焦点椭圆，2aCD，考虑离心率e，再让,ba动，易得[2,13]OCCB．（2）由4ab平方得：221616222ababab，所以4ab，当且仅当4ab，且a与b同向时等号成立，即当且仅当a与b同向，且2ab时等号成立.方法2：设cos,sin,cos,sinarrbRR，其中12,23rR由4ab平方得：22coscossinsin16rRrR.所以：2216cos2rRRr，即22162rRab，下同解法一.方法3：22211444abababab，当且仅当a与b同向，且2ab时等号成立.CDOBA2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第6页共6页方法4：由已知条件易得：要使ab达到最大，令2a，由图示可知，要使23,34bab同时满足，则b在a方向上的投影长度的最大值为2，所以4ab，当且仅当a与b同向，且2ab时等号成立.2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案第7页共7页15、（1）0a；（2）即存在实数m,使得关于x方程1()4xfxm在[2,2]上有6个互不相同的解，设22(1),()()(1),xaxxagxxfxxaxxa，①当22aa或时，1()4gxm在[2,2]上不可能有6个互不相同的解；②当21a时，有112222aaa，此时()gx在(2,)a递增，1(,)2aa递减，1(,2)2a递增，因为2167()(2)024aaaff，(2)()ffa，所以要使得1()4gxm在[2,2]上有6个互不相同的解，只需1()(2)2faf，解得312a；③当11a时，有112222aaa，此时()gx在1(2,)2a递增，11(,)22aa递减，1(,2)2a递增，因为2167()(2)024aaaff，1()(2)2aff，所以要使得1()4gxm在[2,2]上有6个互不相同的解，只需111()()222aaff，解得0a；④当12a时，有112222aaa，此时()gx在1(2,)2a递增，1(,)2aa递减，(,2)a递增，此时1()(2)2aff，所以要使得1()4gxm在[2,2]上有6个互不相同的解，只需1(2)()2ffa，解得312a；故当3322a且0a时，存在实数m,使得关于x方程1()4xfxm在[2,2]上有6个互不相同的解.