2005年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I部分（选择题共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{PQbPaba若}6,2,1{Q，则P+Q中元素的个数是（）A．9B．8C．7D．62．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“ba”是“bcac”充要条件；②“5a是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“ab”是“a2b2”的充分条件；④“a5”是“a3”的必要条件.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43．iii1)21)(1(（）A．i2B．i2C．i2D．i24．函数|1|||lnxeyx的图象大致是（）5．双曲线)0(122mnnymx离心率为2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn的值为（）A．163B．83C．316D．386．在xyxyxyyx2cos,,log,222这四个函数中，当1021xx时，使2)()()2(2121xfxfxxf恒成立的函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．若则),20(tancossin（）A．)6,0(B．)4,6(C．)3,4(D．)2,3(8．若1)11(lim21xbxax，则常数ba,的值为（）A．4,2baB．4,2baC．4,2baD．4,2ba9．若xxxsin32,20与则的大小关系（）A．xxsin32B．xxsin32C．xxsin32D．与x的取值有关10．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心.从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）A．KB．HC．GD．B′11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样12．以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）A．385367B．385376C．385192D．38518第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡相应位置上.13．已知向量||).,5(),2,2(bakba若不超过5，则k的取值范围是.14．5)212(xx的展开式中整理后的常数项为.15．设等比数列}{na的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为.16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量baxftxbxxa)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.18．（本小题满分12分）在△ABC中，已知ACBAB,66cos,364边上的中线BD=5，求sinA的值.19．（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.21．（本小题满分12分）设A、B是椭圆223yx上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）22．（本小题满分14分）已知不等式nnn其中],[log21131212为大于2的整数，][log2n表示不超过n2log的最大整数.设数列}{na的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111nannaabbannn（Ⅰ）证明,5,4,3,][log222nnbban（Ⅱ）猜测数列}{na是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当Nn时，对任意b0，都有.51na2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．B2．B3．C4．D5．A6．B7．C8．C9．D10．C11．D12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．[－6，2]14．226315．－216．500三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。解法1：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则.0)()1,1(,)1,1()(xfxf上可设则在上是增函数在若,31)(,23)(,)1,1(,230)(22xxgxxxgxxtxf的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间开口向上的抛物线，故要使xxt232在区间（－1，1）上恒成立.5),1(tgt即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当xfxfxft5tt的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2xfxftxxxf上可设则在上是增函数在若)(xf的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(tftf.5.)1,1()(,0)()1,1()(ttxfxfxf的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=,,36221xBEAB设在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，,6636223852xx,328cos2,2),(37,1222BBCABBCABACBCxx从而故舍去解得.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即解法2：以B为坐标原点，xBC为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.).(314,2.5)352()634(||).352,634(),0,(),354,34()sin364,cos364(,630sin22舍去从而由条件得则设则由xxxBDxBDxBCBBBAB),354,32(CA故.1470cos1sin,141439809498091698098||||cos2AACABACABAA于是解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=,354,34AH.1470sin,6303212sin2.3212,32,2,34,310)354()52(22222222AAHCAHACHCCNBNBCHBCNAHBPPNBPBN故由正弦定理得而19．本小题主要考查随机变量的分布列和数学期望的概念和运算，以及运用概率统计的知识解决实际问题的能力.解：的取值分别为1，2，3，4.1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（1）=0.6.2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故.28.07.0)6.01()2(Pξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故.096.08.0)7.01()6.01()3(Pξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故.024.0)8.01()7.01()6.01()4(P∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为ξ1234P0.60.280.0960.024∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，21，1），从而).2,0,3(),0,1,3(PBAC设PBAC与的夹角为θ，则,1473723||||cosPBACPBAC∴AC与PB所成角的余弦值为1473.（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则)1,21,(zxNE，由NE⊥面PAC可得，.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0xzzxzxACNEAPNE化简得即∴163zx即N点的坐标为)1,0,63(，从而N点到AB、AP的距离分别为1，63.解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在△AOE中，AO=1，OE=,2721PB,2521PDAE∴.147