教案-《等比数列的前n项和公式》

高二数学组集体备课教案（第七周10月17日）课题：2.5等比数列的前n项和(两个课时)教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；（2）等比数列的前n项和公式的应用；教学难点：等比数列的前n项和公式的推导；教学方法：问题探索法及启发式讲授法教具：多媒体教学过程：一、复习提问回顾等比数列定义，通项公式（1）等比数列定义：qaann1（2n，)0q（2）等比数列通项公式：)0,(111qaqaann（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。二、问题引入：阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。问题:如何计算引出课题:等比数列的前n项和。三、问题探讨：问题：如何求等比数列na的前n项和公式nS123naaaa22111111nnaaqaqaqaq回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。23636412222S2倒序相加法。等差数列naaaa,,321它的前n项和是nSnaaaa321根据等差数列的定义1nnaad1111()(2)（n-1)nSaadadad（1）()(2)-（n-1)nnnnnSaadadad（2）（1）+（2）得：12()nnSnaa1()2nnnaaS探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？nS123naaaa22111111nnaaqaqaqaq221nnnnnnnnaaaaSaqqqq学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。构造相同项，化繁为简。探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？根据等比数列的定义：1)（nnaqnNa变形：1nnaqa具体：12aqa23aqa34aqa……学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。所以将这一特点应用在前n项和上。由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。22111111nnnSaaqaqaqaq（1）23111111nnnqSaqaqaqaqaq（2）由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。311(1)(2)(1)nnqSaaq得：当q=1时，1naSn当1q时，qqaSnn1)1(1学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：当1q时，11nnaaqSq四.知识整合:1．等比数列的前n项和公式：当q=1时，1naSn当1q时，qqaSnn1)1(111naaqq2．公式特征：⑴等比数列求和时，应考虑1q与1q两种情况。⑵当1q时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，1,,,,nnaqnaS，五个量中“知三求二”（方程思想）。3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。五、例题精讲：例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？4⑵若已知所画正方形的面积和为314，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的面积。解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且1142aq（1）7n671116aaq（2）11111nnnnaaqaqSq11421412311412nnna514nna答：（1）第七个正方形的面积是2116cm。（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是214cm。巩固练习：⑴已知等比数列na中，11a，2q,求6S。⑵已知等比数列na中，11a，3q,40nS，求n，na。六、课堂小结：1、等比数列的前n项和公式：当q=1时，1naSn当1q时，qqaSnn1)1(111naaqq2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。七、课后作业：基础题：课本P61习题2.5A组1，2提高题：求和（21(1)(2)(2)nnaaa探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？5八、板书设计：2.5.1等比数列的前n项和公式：例1例2特征变式练习：巩固练习：