【精品】高中数学必修一-集合及集合的表示(提高)讲义--知识点讲解+练习(含答案)

集合及集合的表示（B层）【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3．关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4．元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A，记作aA(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)A，记作aA5．集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(emptyset)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1.自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法.如下图，就表示集合1,2,3,4.【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1集合A由形如3(,)mnmZnZ的数构成的，判断123是不是集合A中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，12323.由题中集合A可知2,1,mn均有,mZnZ，23A，即123A.1，2，3，4点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，123能否化成此形式，进而去判断123是不是集合A中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变式1】设S={x|x=m+2n,m,nZ}(1)若aZ，则是否有aS？(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；(2)x1，x2S，则1112221122x=m+2n,x=m+2n(m,n,m,nZ)1212121212()2()(,)xxmmnnSmmZnnZ12112212121221xx=(m+2n)(m+2n)=mm+2nn+2(mn+mn)∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z∴x1·x2S.类型二：元素与集合的关系例2.用符号“”或“”填空．(1)23_____{|11}32____{|4}xxxx，　　；(2)223___{|1}5___{|1}NNxxnnxxnn，，　　　，；(3)22(11)___{|}(11)___{()|}.yyxxyyx，，　　，，解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为aA，或者aA，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.(1)23121123{|11}xx，；321816432{|4}xx，；(2)令231n，则223{|1}NNnxxnn，，；令251n，则2225{|1}NNnxxnn，其中，，；(3)∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，∴22(11){|}(11){()|}.yyxxyyx，，　　，，点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合2{|1}Nxxnn，这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合2{|}yyx这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合2{()|}xyyx，是由抛物线2yx上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变式1】用符号“”或“”填空（1）若A=Z,则12A；-2A.（2）若2B|210,xxx则12B；-2B.答案：（1），（2），类型三：集合中元素性质的应用例3.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,abS，对于有序元素对（a,b）,在S中唯一确定的元素*ab与之对应），若对任意的,abS，有*(*)abab，则对任意的,abS，下列等式中不恒成立的是（）A.(*)*abaaB.[*(*)]*(*)abaabaC.*(*)bbbbD.(*)*[*(*)]abbabb答案：A解析：抓住本题的本质(*)*abab恒成立.,ab只要为S中元素即可有*abS.B中由已知即为*(*)baba符合已知条件形式.C中ab即可.D中*ab相当于已知中的a也正确.只有A不一定正确.点评：本题应紧紧抓住关系式(*)*abab，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.举一反三：【变式1】定义集合运算：|(),,ABzzxyxyxAyB.设集合0,1A，2,3B，则集合AB的所有元素之和为A.0B.6C.12D.18答案：D解析：|(),,ABzzxyxyxAyB，当0,1,2,3AB时，0,6,12AB，于是AB的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.例4.6M={aZ,|N}5-a，则M=()A.{2，3}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，6}D.{-1，2，3，4}答案：D解析：集合中的元素满足是整数，且能够使65-a是自然数，所以0665-a由aZ，所以-1≤a≤4当a=-1时，16=N5-(-1)符合题意；当a=0时，656=N5-0不符合题意；当a=1时，63512=N不符合题意；当a=2时，652=2N符合题意；当a=3时，6=3N5-3符合题意；当a=4时，6=6N5-4符合题意.故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.■高清课程：集合的表示及运算例1例5.设集合A={xR|2210axx}，当集合A为单元素集时，求实数a的值.答案：0，1解析：由集合A中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.例6.已知集合222,(1),33Aaaaa，若1A，求实数a的值及集合A.答案：0a，1,2,3A解析：（1）若21,a则1a.所以1,0,1A，与集合中元素的互异性矛盾，则1a应舍去.（2）若2(1)1a，则0a或2a，当0a时，2,1,3A满足题意；当2a时，0,1,1A，与集合中元素的互异性矛盾，则2a应舍去.（3）若2331aa，则1a或2a，由上分析知1a与2a均应舍去.综上，0a，集合1,2,3A.点评：本题中由于1和集合A中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合22,2Aaa，3A，求实数a的值答案：1a解析：当21a，即1a时，1,3A，满足题意；当223,a即1a，1a时，3,3A，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去，1a时，由上面知，满足题意故1a例7．设A是实数集，且满足条件：若,1aAa，则11Aa.（1）若2A，则A中必还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集；（3）集合A中至少有三个不同的元素.答案：（1）11,2（2）略（3）略解析：（1）若2A，则1112A，于是111(1)2A，故集合A中还含有11,2两个元素.（2）若A为单元素集，则11aa，即210aa，此方程无实数解，11aa，a与11a都为集合A的元素，则A不可能是单元素集.（3）由已知1111111aaAAAaaa.现只需证明11aaaa1-、、三个数互不相等.①若2110,1aaaa方程无解，11aa；②若2110aaaaa，方程无解，1aaa；③若211101aaaaa，方程无解，111aaa，故集合A中至少有三个不同的元素.点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.类型四：集合的表示方法例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程230x的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.答案：{33}，；16,17,18,19,20,21,22,23,24。解析：(1)设方程230x的实数根为x，并且满足条件230x因此，用描述法表示为2{|30}AxxxR，；方程230x有两个实数根33，因此，用列举法表示为{33}A，.(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件Zx，且15x25，因此，用描述法表示为{|1525}BxxxZ，；大