高中数学讲义微专题45--均值不等式

微专题45利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设01,2,,iain（1）调和平均数：12111nnnHaaa（2）几何平均数：12nnnGaaa（3）代数平均数：12nnaaaAn（4）平方平均数：22212nnaaaQn2、均值不等式：nnnnHGAQ，等号成立的条件均为：12naaa特别的，当2n时，22GA2abab即基本不等式3、基本不等式的几个变形：（1）2,0ababab：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22abab：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222abab，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,abR4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x求23yxx的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2324yxxx，右侧依然含有x，则无法找到最值。①求和的式子→乘积为定值。例如：上式中24yxx为了乘积消掉x，则要将3x拆为两个2x，则2223342222334yxxxxxxxx②乘积的式子→和为定值，例如302x，求32fxxx的最大值。则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以2112329322322228xxfxxxxx（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。5、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子（2）已知1axby（a为常数），求mnxy的最值，此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。例如：已知0,0,231xyxy，求32xy的最小值解：3232942366yxxyxyxyxy94941212224yxyxxyxy（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知0,0,24xyxyxy，求2xy的最小值解：22211222228xyxyxyxy所以2224248xyxyxyxy即2282320xyxy，可解得2434xy，即min2434xy注：此类问题还可以通过消元求解：42241xxyxyyx，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y的范围由x承担，所以0,2x二、典型例题：例1：设1x，求函数(5)(2)1xxyx的最小值为_______________思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)41511xxyxxx，使用均值不等式可得：421591yxx，等号成立条件为4111xxx，所以最小值为9答案：9例2：已知0,0xy，且115xyxy，则xy的最大值是________思路：本题观察到所求xy与11xy的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即2114112xyxyxyxy，代入方程中可得：245540xyxyxyxy，解得：14xy，所以最大值为4答案：4例3：已知实数,mn，若0,0mn，且1mn，则2221mnmn的最小值为（）A.14B.415C.18D.13思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。2241212121mnmnmnmn，结合分母可将条件1mn，变形为214mn，进而利用均值不等式求出最值解：222244114121212121mnmnmnmnmnmn4141322121mnmnmn1214mnmn414141112214121214421nmmnmnmnmn41129524214nmmn229122144mnmn，即2221mnmn的最小值为14答案：A例4：已知正实数,xy满足24xyxy，则xy的最小值为__________思路：本题所求表达式xy刚好在条件中有所体现，所以考虑将xy视为一个整体，将等式中的项往xy的形式进行构造，21xyxyxyxxyxyxy，而1xy可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于xy的不等式，解不等式即可解：24414xyxyxyxxyxyxy2112xyxy方程变形为：2142xyxy21416xyxy26150xyxy解得：6962632xy答案：xy的最小值为263例5：已知20ab，则4(2)abab的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为2bab，所以可将a构造为112222aabb，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：341818(2)3(2)3(2)2(2)2(2)aabbabbbabbabbab思路二：观察到表达式中分式的分母2bab，可想到作和可以消去b，可得2222babbaba，从而244(2)aababa，设24faaa，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：32244332222aaaafaaa答案：3小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解（2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验例6：设二次函数24fxaxxcxR的值域为0,，则1919ca的最大值为__________思路：由二次函数的值域可判定0a，且04ac，从而利用定值化简所求表达式：19918918511999913913acaccaacacacac，则只需确定9ac的范围即可求出1919ca的最值。由均值不等式可得：912ac，进而解出最值解：二次函数24fxaxxcxR的值域为0,164040acaca9911991891851191999913913acacaccacaacacacac92912acac195611912135ca答案：65例7：已知,,xyzR，则222xyyzxyz的最大值是________思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为,xyyz均含y，故考虑将分母中的2y拆分与22,xz搭配，即22222221122xyyzxyyzxyzxyyz，而22222222111122,222222xyxyxyzyzyyz，所以2222xyyzxyyz答案：22小炼有话说：本题在拆分2y时还有一个细节，因为分子,xyyz的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中,xyyz也要相同，从而在拆分2y的时候要平均地进行拆分（因为22,xz系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。例8：已知正实数,xy满足3xyxy，若对任意满足条件的,xy，都有2()()10xyaxy恒成立，则实数a的取值范围为________思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，1axyxy。进而只需求得1xyxy的最小值。将xy视为一个整体，将3xyxy中的xy利用均值不等式换成xy，然后解出xy的范围再求最小值即可解：21()()10xyaxyaxyxy,0xy22xyxy232xyxyxy2412xyxy解得：6xy或2xy（舍）min1137666xyxy（在6xy时取得）376a例9：已知1,0,0xyyx，则121xxy的最小值是___________思路：观察到所求121xxy的两项中x部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形12x的分子。因为1xy，所以12yx，则111122244xyxyxxxx，所以原式11214414414xxxyxyxxxyxxyx，因为要求得最小值，所以0x时，min144xx，故121xxy最小值为34答案：34小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的x互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造例10：已知,,,,25,9,mnmnstRmnnmst，且,mn是常数，又2st的最小值是1，则3mn________思路：条件中有9mnst，且有min21st，进而联想到求2st最小值的过程中达到的最值条件与,mn相关：1121222222999mnmtsnststmnmnmnstst，即2st的最小值为12229mnmn，所以12221925mnmnmnnm，解得12mn，所以37mn答案：7三、历年好题精选1、(2016，天津河西一模）如图所示，在ABC中，DBAD，点F在线段CD上，设ABa，ACb，AFxayb，则141yx的最小值为（）A.226B.36C.246D.2232、（2016，南昌二中四月考）已知,ab都是负实数，则2ababab的最小值是（）A.56B.221C.221D.2213、（2016，重庆万州二中）已知,ab为正实数，且2ab，则22221abab的最小值为________4、（扬州市2016届高三上期末）已知1ab且2log3log7abba，则211ab的最小值为________5、已知正项等比