二次函数与一元二次方程、不等式2020高一数学新教材

2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式1、了解一元二次不等式的概念；2、掌握一元二次不等式的解法；3、理解三个二次的关系，能够利用这种关系解题；4、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.学习目标1自主学习在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好的解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？知识点一一元二次不等式的概念(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式.(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.(3)不等式所有解的称为解集.一元二次集合知识点二一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(其中a0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.知识点三“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.1.x2＞1的一个解是x＝－2，解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).()2.方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0.()3.如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c0也无解.()4.x2－10与1－x20的解集相等.()√√×√小试牛刀2经典例题题型一一元二次不等式的解法总结：用框图表示一元二次不等式的求解过程跟踪训练1（1）求不等式2x2－3x－2≥0的解集.解∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－12，x2＝2，且a＝20，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是xx≤－12或x≥2.（2）求不等式－3x2＋6x2的解集.解不等式可化为3x2－6x＋20，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝120，∴x1＝1－33，x2＝1＋33，∴不等式－3x2＋6x2的解集是x1－33x1＋33.题型二含参数的一元二次不等式的解集例4已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集.解由根与系数的关系，可得－a＝1＋2，b＝1×2，即a＝－3，b＝2，∴不等式bx2＋ax＋10，即2x2－3x＋10.解得x12或x1.∴bx2＋ax＋10的解集为xx12或x＞1.总结：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟踪训练2已知不等式ax2－bx＋20的解集为{x|1x2}，求a，b的值.解方法一由题设条件知a0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.由根与系数的关系，知1＋2＝ba，1×2＝2a，解得a＝1，b＝3.方法二把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得a－b＋2＝0，4a－2b＋2＝0，解得a＝1，b＝3.题型三不等式恒成立问题例5设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围。解要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10，满足题意；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.∴－4m≤0.跟踪训练3若不等式x2＋x＋k0在区间[－1,1]上恒成立，则实数k的取值范围是.(－∞，－2)解析x2＋x＋k0，即k－(x2＋x)在区间[－1,1]上恒成立，即k[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k－2.3当堂达标∴不等式的解集为xx－12或x＞1.1.不等式2x2－x－10的解集是A.x－12x1B.{x|x＞1}C.{x|x1或x＞2}D.xx－12或x＞1√解析∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－10，得(2x＋1)(x－1)0，解得x1或x－，122.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是A.m≥2B.m≤－2C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2√解析由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.3.不等式(x－2)2－2x＋11的解集为.{x|1－22x1＋22}解析不等式(x－2)2－2x＋11可化为(x－1)28，解得1－22x1＋22.4.若不等式ax2＋8ax＋210的解集是{x|－7x－1}，那么实数a的值是.3解析由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝，故a＝3.21a1.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得{x|xn或xm}；若(x－m)(x－n)0，则可得{x|mxn}.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等.3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.课堂小结课堂作业作业：完成对应练习