高等数学课件1-3第三节-函数的极限

第三节函数的极限1.各自变量的变化过程中的极限2.极限的性质1/25一、各自变量的变化过程中的极限由xn=f(n)nN，有)(limlimnfxnnn)(lim,xfNxx)(lim,xfZxx极限问题中的２个要素：1)自变量的变化过程，2)函数。2/25函数６种自变量的连续变化过程：1.x2.x-3.x4.xx05.xx0+06.xx0-0直观上，当|x|无限增大时，函数f(x)=1/x无限接近于当x往正方向无限增大时，函数f(x)=arctanx无限接近于.2/;)()(,0任意小表示AxfAxf|).xXxx表示|充分大（问题:如何用数学语言刻划函数“无限增大”、“无限接近”?0。时函数的极限一、xaxfnfxZxxnnn)(lim)(limlim,由对任给定的0，都存在自然数N=N()，使得当nN时，恒有|xn-a|=|f(x)-a|成立。定义设f(x)在[a,+∞)有定义，=A对任给定的0，都存在X=X()a，使得当xX时，恒有|f(x)-A|成立。)(limxfxX0,0,,().XxXfxA使恒有Axfx)(lim定义几何解释yA+y=f(x)AA-OXx即＝Ax+时，曲线y=f(x)有水平渐近线y=A.)(limxfx定义f(x)在（-∞，a]有定义，＝A对任给定的0，都存在X=X()0，使得当x-X时，恒有|f(x)-A|成立。)(limxfxAxfx)(lim0,0,,().XxXfxA使恒有X定义几何解释yA-MO即＝Ax-时，曲线y=f(x)有水平渐近线y=A。)(limxfx定义设f(x)在U(∞)有定义，＝A对任给定的0，都存在X=X()0，使得当|x|X时，恒有|f(x)-A|成立。)(limxfxAxfx)(lim0,0,||X,().XxfxA使恒有X定义即＝Ax时，曲线y=f(x)有水平渐近线y=A.)(limxfxXXAAOxy)(xfyA几何解释:.)(,,0,0AxfMxM恒有时使当Axfx)(limAxfx)(lim.)(,,0,0AxfMxM恒有时使当Axfx)(lim.)(,||,0,0AxfMxM恒有时使当.)(limAxfx)(limxfx)(limAxfx不难证明：X定义*例6.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sin，x1,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故）水平渐近线有曲线（0sinyxxyxxysinXXA22/25时函数的极限二、0xx函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx定义设f(x)在x0的某个去心邻域有定义，＝A对任给定的0，都存在=()0，使得当0|x-x0|时，恒有|f(x)-A|成立。)(lim0xfxx定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当Axfxx)(lim0几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo定义设f(x)在x0的某个右去心邻域有定义，对任给定的0，都存在=()0,使得当0x-x0(即x0xx0+)时，恒有|f(x)-A|成立。Axfxfxx)(lim)0(000Axfxfxx)(lim)0(00.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当定义.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当定义定义设f(x)在x0的某个左去心邻域有定义，对任给定的0，都存在=()0,使得当-x-x00(即x0-xx0)时，恒有|f(x)-A|成立。Axfxfxx)(lim)0(000Axfxfxx)(lim)0(00定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当不难证明：Axfxx)(lim0)(lim0xfxx)(lim0AxfxxAxfxx)(lim0.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数),(||0.3000xUxxx).,()(|)(|AUxfAxf).,()(),,(,0,0)(lim000AUxfxUxAxfxx有故例4证明2证：11lim21xxx).1(|1-||2-1||2-11|2时当xxxxx.)(,0可取对任给定的,|1-||2-11||2-)(|,|1-|02成立恒有时当xxxxfx证毕.211lim21xxx例5证明：证：对任给定的0，.4142-lim22xxx.证毕,|2|4|2-||4142-|2xxxx则不妨设1,|2-|x故3,|2|x,12|2-||4142-|2xxx,12|2-||4142-|2xxx，只要欲使,12|2|x即,}12,1min{故取.|4142-|,|2|02xxx有当.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例7证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x是否存在。判断设)(lim3.1-23;1{)(3xfxxxxxfx4)1(lim)(lim0)-(30303xxffxx5)1(2lim)(lim0)(30303xxffxx0)(30)-(3ff有不存在。)(lim3xfx例8解：例3设x00，试证：证：对任给定的0，1)当x00时，00lim0xxxx)(-|-|000时当xxxxxx0000000()()--xxxxxxxxxxxxx0000--xxxxxx又0();x可取.|-|,0,0)2000xxxxxx有对时当,2xx又.)(2可取.x|x-x|,0(00有时当xx)xlim00xx0x14/25例5；证明3)1-(lim:)12-2xx可取何值？，问若给定001.0)2)5|2-|,3-2-5-,1|2|(|2|5|2-||2||4||3-)1-(|22xxxxxxxx从而有有时当由5|2||2|5xx而.}1,5min{)(,0可取对任给定的.3)1(lim2-2xx0.0002.50.0010.001,,可取对给定的特别解16/25二、极限的性质1.唯一性：若对自变量t的某一变化过程，f(t)收敛，则在此变化过程中f(t)的极限唯一。2.有界性：若对自变量t的某一变化过程，f(t)收敛，则在此变化过程中的某一时刻之后f(t)有界。19/253.保号性：若对自变量t的某一变化过程，有limf(t)0(或0)，则在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(t)0(或0)。此性质等价于：若对自变量t的某一变化过程，f(t)收敛，并且在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(t)0(或0)，则对此变化过程有limf(t)0(或0)。注意：若对自变量t的某一变化过程，f(t)收敛，并且在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(t)0对此变化过程有limf(t)0。20/254.保序性：若对自变量t的某一变化过程，有limf(t)limg(t)，则在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(t)g(t)。此性质等价于：若对自变量t的某一变化过程，f(t)、g(t)收敛，并且在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(t)g(t)，则对此变化过程有limf(t)limg(t)。21/25三、小结1.极限的两个要素,函数极限的定义2.自变量的变化过程中的极限的统一描述（共有7种自变量的变化过程）3.极限的性质（统一描述）25/25作业习题1-1一、2，3，4，6，7，9，10二、11思考题试问函数0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在0x处的左、右极限是否存在？当0x时，)(xf的极限是否存在？思考题解答)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx,01sinlim0xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在..01.01______131222yzxzxxyx，必有时，只要取，问当时，、当.001.0420___4212yxxyx，必有只要时，取，问当时，、当证明：二、用函数极限的定义一、填空题:0sinlim221241lim1221xxxxxx、、练习题.)(:0极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证xxxf?0)(存在时的极限是否在四、讨论：函数xxxx一、1、0.0002；2、397.四、不存在.练习题答案