大学物理A第六章习题选解

第六章真空中的静电场习题选解6-1三个电量为q的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)QQ放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷(q)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f，方向如图所示，其大小为题6-1图中心处Q对上顶点电荷的作用力为2f，方向与1f相反，如图所示，其大小为由12ff，得33Qq。6-2在某一时刻，从238U的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离残核234Th的中心为159.010rm。试问：（1）作用在粒子上的力为多大？（2）粒子的加速度为多大？解：（1）由反应238234492902UTh+He，可知粒子带两个单位正电荷，即Th离子带90个单位正电荷，即它们距离为159.010rm由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：（2）粒子的质量为：由牛顿第二定律得：6-3如图所示，有四个电量均为Cq610的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为22rm。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为-q-q-qQ题6-3图题6-3图力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x轴成45角。6-4在直角三角形ABC的A点放置点电荷Cq91108.1，B点放置点电荷Cq92108.4，已知0.04,0.03BCmACm，试求直角顶点C处的场强E。解：A点电荷在C点产生的场强为1E，方向向下B点电荷在C点产生的场强为2E，方向向右题6-4图根据场强叠加原理，C点场强设E与CB夹角为，21tanEE6-5如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为r（err）的P点处的电场强度为4043rQE，式中22eqrQ，称为这种电荷分布的电四极矩。题6-5图解：由于各电荷在P点产生的电场方向都在x轴上，根据场强叠加原理由于err，式中2er可略去又电四极矩22eqrQ故4043rQEP题6-5图6-6如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为d的P点处的电场强度。解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元dx在P点产生的场强为dE题6-6图场强dE可分解成沿x轴、y轴的分量题6-6图P点场强dEEEyx02242方向与Y轴夹角为arctan45xyEE6-7一根带电细棒长为l2，沿x轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax（A为正的常数）。求x轴上，lbx2处的电场强度。解：在坐标为x处取线元dx，带电量为Axdxdq，该线元在P点的场强为dE，方向沿x轴正方向整个带电细棒在P点产生的电场为题6-7图场强E方向沿x轴正方向6-8如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为R的半圆形。其上一半均匀带电荷q，另一半均匀带电荷q。求圆心O处的场强。解：以圆心为原点建立如图所示Oxy坐标，题6-8图在胶棒带正电部分任取一线元dl，与OA夹角为，线元带电荷量dlRqdq2，在O点产生电场强度把场强dE分解成沿x轴和y轴的分量题6-8图同理，胶棒带负电部分在O点的场强E沿x轴方向的分量xE与xE大小相等，方向相同；沿y轴方向的分量yE与yE大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为2022RqEEx方向沿x轴正向。6-9一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，在平面上开一个半径为R的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r处一点P的场强。解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度相同的圆盘。距洞心r处P点的场强式中E为无限大均匀带电平面在P点产生的场强题6-9图方向垂直于平面向外E为半径为R的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r处的P产生的场强。在圆盘上取半径为r，宽为rd的细圆环，在P点产生场强220(1)2rRr方向垂直圆盘向里故21220)(2rRrEEEP方向垂直平面向外6-10如图所示，一条长为l2的均匀带电直线，所带电量为q，求带电直线延长线上任一点P的场强。解：在坐标为r处取线元，带电量该线元在带电直线延长线上距原点为x的P点产生的场强为题6-10图题6-10图整个带电直线在P点的场强6-11用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为02E（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。解：（1）建如图()axyz坐标，以板上任一点O为圆心，取半径为r，宽度为dr的环形面积元，带电量为：rdrdq2。由圆环电荷在其轴线上任一点)(xOPP的场强公式方向沿x轴正方向。P点总场强题6-11()a图（0，E的方向沿x轴正方向）（2）建如图()b所示的三维坐标，在与z轴相距为y处取一细长线元，沿y轴方向单位长度带电荷为dy，由长直带电直线场强公式，线元在x轴距原点O为a的点P的场强题6-11()b图由于对称性，dE的y轴分量总和为零所以cosdEdEEx因为0，所以E的方向沿x轴正方向。6-12如图所示，半径为R的带电细圆环，线电荷密度cos0，0为常数，为半径R与x轴夹角，求圆环中心O处的电场强度。解：在带电圆环上任取一线元Rddl，带电量为Rddldqcos0，线元与原点O的连线与x轴夹角为，在O点的场强dE大小为题6-12图dE沿x轴和y轴的分量整个带电圆环在O点的场强E沿x轴和y轴的分量故004xEREiiE的方向沿x轴负方向。6-13如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为d，线电荷密度分别为和，求：（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布；（2）两直线单位长度的相互作用力。解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点P距两线构成平面为y，到两线距离为22()2dy。两带电直线在P点的场强为题6-13图由于对称性，两线在P点的场强沿y轴方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消题6-13图2202()4ddy方向沿x轴正方向（2）两直线相距为d，带正电直线在带负电直线处的场强为dE02。由qEF，带负电直线单位长度的电荷受电场力dEF022，方向指向带正电直线。同理，带正电直线单位长度受电场力dF022，方向指向带负电直线。故有FF，两带电直线相互吸引。6-14如图所示，长为l、线电荷密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为l，求两棒间的静电相互作用力。题6-14图解：（1）建立如图所示x坐标，在左棒中坐标为x处取线元dx，带电量dxdq，线元dx在坐标r处的场强左棒在坐标r处点的场强题6-14图（2）在右棒中坐标为r处取线元dr，带电量drdq，该线元受电场力右棒受总电场力为F的方向沿x轴正方向。两棒间的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。6-15用细的不导电的塑料棒弯成半径为cm50的圆弧，棒两端点间的空隙为cm2，棒上均匀分布着C91012.3的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心O场强对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心O的电场强度为零，0圆环E。上一带负电小圆弧棒相对于圆心O可近似题6-15图看成一个点电荷，电量为：圆心处场强100.714ABEEVm，方向指向空隙。6-16如图所示，一点电荷q处于边长为的正方形平面中垂线上，q与平面中心O点相距/2a，求通过正方形平面的电场强度通量e。解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为a的正方体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为题6-16图则通过该正方形平面的电通量为06q。6-17设匀强电场的场强为E，E与半径为R的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。解：方法一：在半球面上取宽为dl的环状面积元，通过面元dS的电场强度通量通过整个半球面的电场强度通量题6-17图方法二：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面S的电场强度通量相等。通过S面的电场强度通量：故通过半球面的电场强度通量亦为ER2。6-18在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为e的电荷被密度为02a/rCer的负电荷所包围，0是“玻尔半径”，1000.5310m，C是为了使电荷总量等于e所需要的常量。试问在半径为0的球内净电荷是多少？距核0远处的电场强度多大？解：由02a/rCer，可得由030302030020203022428822800aadxxeaardareadrrexa/ra/r原式成为eaC4430所以30aeCo．．q要求半径为0a的球内的静电荷。应先求半径0a的球内的负电荷q球内净电荷为190.6771.0810qeqeC由高斯定律02004qdaEES6-19在半径分别为1R,2R的两个同心球面上，分别均匀带电为1Q和2Q，求空间的场强分布，并作出rE关系曲线。解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。（1）以球心O为圆心，r为半径（10Rr）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即因而I0E（2）以O为圆心，半径为r（21RrR）作一同心球面，由高斯定理题6-19图（3）以O为圆心，半径为r（2Rr）作一同心的球面，由高斯定理所以12III204QQErrE曲线如图6-19所示。6-20设均匀带电球壳内、外半径分别为1R和2R，带电量为Q。分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出rE图。解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。（1）在1rR的区域，电量为零。由高斯定理0sdES，因而各点场强为零。（2）在12RrR区域，以r为半径作同心球面。由高斯定理由331332144()443333QqVrRRR因此3132313204RRRrrQE（3）在2rR区域，以r为半径作同心球面，由高斯定理rE曲线如图6-20所示。题6-20图6-21无限长共轴圆柱面，半径分别为1R和2R(21RR)，均匀带电，单位长度上的电量分别为1和2。求距轴为r处的场强(1)1rR；(2)12RrR；(3)2rR。解：（1）在半径为1R的圆柱面内作半径为r(1rR)，高为l的同轴圆柱面，作为高斯面。通过此高斯面的通量各点E垂直于轴线，上下底面电通量为零因而0E(1rR)（2）在半径为1R、2R的两圆柱面间作半径为r(21RrR)，高为l的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理可见rE012（3）同理在2rR的区域rE02126-22一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为r0(Rr)，0为常数。求场强分布。解：（1）在圆柱体内r处（Rr），取一点P，过P以底面半径为r，高为l作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围的电荷量题6-22图通过圆柱侧面的电通量为rlE2，通过两底面的电通量为零，由高斯定理可得0023rEE的方向沿矢径r的方向（2）在圆柱体外r处（Rr）取一点P，过P点以底面半径为r，高为l作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围电荷量由高斯定理0sqdES得rRE0303E的方向沿矢径r的方向6-23如图所示，一电量为C7102的电荷从坐标原点O运动到点)4,4(。设