高中数学必修2解析几何初步测试题及答案详解

解析几何初步测试题及答案详解(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列叙述中不正确的是()A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为()A．－3B．－6C．－32D．233．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是()4．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于()A．2B．3C．9D．－95．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A．x＋y＋1＝0B．4x－3y＝0C．4x＋3y＝0D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝06．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．4B．13C．15D．177．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为()A．－4B．20C．0D．248．圆(x＋2)2＋y2＝5关于y轴对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝59．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝910．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()A．3x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝011．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于()A．0B．1C．2D．312．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A．5B．10C．252D．254二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，则|OB|＝______．14．如果A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，则直线l的方程是________________．15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．16．若x∈R，y有意义且满足x2＋y2－4x＋1＝0，则yx的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．18．(12分)已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．求(1)BC边所在的直线方程；(2)△ABC的面积．19．(12分)已知一个圆和直线l：x＋2y－3＝0相切于点P(1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．21．(12分)如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？并说明理由．22．(12分)已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．答案详解1．D[α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]2．B[当两直线平行时有关系a3＝2－1≠2－2，可求得a＝－6．]3．C4．D[由kAB＝kAC得b＝－9．]5．D[当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)代入得k＝－43；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，将(3，－4)代入得a＝－1．]6．D7．A[垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－a4×25＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12．则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]8．A[(x，y)关于y轴的对称点坐标(－x，y)，则得(－x＋2)2＋y2＝5．]9．C[圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4．]10．D[化成标准方程(x－2)2＋y2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1，由kPC＝－2得kl＝12，进而得直线l的方程为x－2y＋3＝0．]11．A[将两方程联立消去y后得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k＝0．]12．D[因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得y＝52．令y＝0得x＝5，故S△＝12×52×5＝254．]13．13解析易知点B坐标为(0,2,3)，故OB＝13．14．3x＋y＋4＝015．－23解析设P(x,1)则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－23．16．3解析x2＋y2－4x＋1＝0(y≥0)表示的图形是位于x轴上方的半圆，而yx的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为3．17．解由题意得x＋y＋1＝0，3x－y＋4＝0，解得x＝－54，y＝14，即平行四边形给定两邻边的顶点为－54，14．又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为294，234．∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，即它们的方程为y－234＝－x－294及y－234＝3x－294，∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．18．解(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－32，kAC＝1．∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．由3x＋2y－7＝0x＋y＝0得B(7，－7)．由x－y＋1＝02x－3y＋1＝0得C(－2，－1)．∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．(2)∵|BC|＝117，A点到BC边的距离d＝1513，∴S△ABC＝12×d×|BC|＝12×1513×117＝452．19．解设圆心坐标为C(a，b)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25．∵点P(1,1)在圆上，∴(1－a)2＋(1－b)2＝25．又∵CP⊥l，∴b－1a－1＝2，即b－1＝2(a－1)．解方程组b－1＝2a－1，a－12＋b－12＝25，得a＝1＋5，b＝1＋25，或a＝1－5，b＝1－25.故所求圆的方程是(x－1－5)2＋(y－1－25)2＝25或(x－1＋5)2＋(y－1＋25)2＝25．20．解设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆上的点A(2,3)关于x＋2y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，即a＋2b＝0．①圆被直线x－y＋1＝0截得的弦长为22，∴|a－b＋1|22＋(2)2＝r2．②由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r2．③由①②③解得a＝6，b＝－3，r2＝52或a＝14，b＝－7，r2＝244.∴圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244．21．解如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，若P′(异于P)在直线上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′||A′B|．因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即a＋12＋2×b＋22－10＝0，b－2a－1·－12＝－1，解得a＝3，b＝6，即A′(3,6)．所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，解方程组6x＋y－24＝0，x＋2y－10＝0，得x＝3811，y＝3611，所以P点的坐标为3811，3611．故供水站应建在点P3811，3611处．22．解(1)由题意，得|M1M||M2M|＝5．x－262＋y－12x－22＋y－12＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0．即(x－1)2＋(y－1)2＝25．∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8，∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝|3k＋2|k2＋1，由题意，得|3k＋2|k2＋12＋42＝52，解得k＝512．∴直线l的方程为512x－y＋236＝0．即5x－12y＋46＝0．综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．