第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。【教学课时分配】(18学时)第1次课§１第2次课§2第3次课§3第4次课§4第5次课§5第6次课§6第7次课§7第8次课§8第9次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2]同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3]同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§91多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．区域由平面解析几何知道当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(xy)之间就建立了一一对应于是我们常把有序实数组(xy)与平面上的点P视作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(xy)的全体即R2RR{(xy)|xyR}就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)|(xy)具有性质P}例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)|x2y2r2}如果我们以点P表示(xy)以|OP|表示点P到原点O的距离那么集合C可表成C{P||OP|r}邻域设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0(x0y0)距离小于的点P(xy)的全体称为点P0的邻域记为U(P0即}|||{),(00PPPPU或})()(|),{(),(20200yyxxyxPU邻域的几何意义U(P0)表示xOy平面上以点P0(x0y0)为中心、0为半径的圆的内部的点P(xy)的全体点P0的去心邻域记作),(0PU即}||0|{),(00PPPPU注如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域记作)(0PU点与点集之间的关系任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点(3)边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点E的边界点的全体称为E的边界记作EE的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E聚点如果对于任意给定的0点P的去心邻域),(PU内总有E中的点则称P是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(xy)|1x2y22}满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集开集的例子E{(xy)|1x2y22}闭集的例子E{(xy)|1x2y22}集合{(xy)|1x2y22}既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E{(xy)|1x2y22}闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E{(xy)|1x2y22}有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合{(xy)|1x2y22}是有界闭区域集合{(xy)|xy1}是无界开区域集合{(xy)|xy1}是无界闭区域2n维空间设n为取定的一个自然数我们用Rn表示n元有序数组(x1x2xn)的全体所构成的集合即RnRRR{(x1x2xn)|xiRi12n}Rn中的元素(x1x2xn)有时也用单个字母x来表示即x(x1x2xn)当所有的xi(i12n)都为零时称这样的元素为Rn中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应因而Rn中的元素x(x1x2xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量特别地Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量二多元函数概念例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系Vr2h这里当r、h在集合{(rh)|r0h0}内取定一对值(rh)时V对应的值就随之确定例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系VRTp其中R为常数这里当V、T在集合{(VT)|V0T0}内取定一对值(VT)时p的对应值就随之确定定义1设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中点集D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值(xy)相对应的因变量z的值也称为f在点(xy)处的函数值记作f(xy)即zf(xy)值域f(D){z|zf(xy)(xy)D}函数的其它符号zz(xy)zg(xy)等类似地可定义三元函数uf(xyz)(xyz)D以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为定义在D上的n元函数通常记为uf(x1x2xn)(x1x2xn)D或简记为uf(x)x(x1x2xn)D也可记为uf(P)P(x1x2xn)D关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数zln(xy)的定义域为{(xy)|xy0}(无界开区域)函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(xy)|x2y21}(有界闭区域)二元函数的图形点集{(xyz)|zf(xy)(xy)D}称为二元函数zf(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在P(xy)P0(x0y0)的过程中对应的函数值f(xy)无限接近于一个确定的常数A则称A是函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限定义2：设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当),(),(0PUDyxP时都有|f(P)A||f(xy)A|成立则称常数A为函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或f(xy)A((xy)(x0y0))也记作APfPP)(lim0或f(P)A(PP0)上述定义的极限也称为二重极限例4.设22221sin)(),(yxyxyxf求证0),(lim)0,0(),(yxfyx证因为2222222222|1sin||||01sin)(||0),(|yxyxyxyxyxyxf可见0取则当22)0()0(0yx即),(),(OUDyxP时总有|f(xy)0|因此0),(lim)0,0(),(yxfyx必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在讨论函数000),(222222yxyxyxxyyxf在点(00)有无极限提示当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时00lim)0,(lim),(lim00)0,0(),(xxyxxfyxf当点P(xy)沿y轴趋于点(00)时00lim),0(lim),(lim00)0,0(),(yyyxyfyxf当点P(xy)沿直线ykx有22222022)0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx因此函数f(xy)在(00)处无极限极限概念的推广多元函数的极限多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似例5求xxyyx)sin(lim)2,0(),(解yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyx)2,0(),()2,0(),(lim)sin(lim122四多元函数的连续性定义3设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)为D的聚点且P0D如果),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx则称函数f(xy)在点P0(x0y0)连续如果函数f(xy)在D的每一点都连续那么就称函数f(xy)在D上连续或者称f(xy)是D上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去例6设f(x,y)sinx证明f(xy)是R2上的连续函数证设P0(x0y0)R20由于sinx在x0处连续故0当|xx0|时有|sinxsinx0|以上述作P0的邻域U(P0)则当P(xy)U(P0)时显然|f(xy)f(x0y0)||sinxsinx0|即f(xy)sinx在点P0(x0y0)连续由P0的任意性知sinx作为xy的二元函数在R2上连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果函数f(xy)在点P0(x0y0)不连续则称P0(x0y0)为函数f(xy)的间断点例如函数000),(222222yxyxyxxyyxf其定义域DR2O(00)是D的聚点f(xy)当(xy)(00)时的极限不存在所以点O(00)是该函数的一个间断点又如函数11sin22yxz其定义域为D{(xy)|x2y21}圆周C{(xy)|x2y21}上的点都是D的聚点而f(xy)在C上没有定义当然f(xy)在C上各点都不连续所以圆周C上各点都是该函数的间断点注间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221yyxxsin(xy)222zyxe都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例7求xyyxyx)2,1(),(lim一般地求)(lim0PfPP时如果f(P)是初等函数且P0是f(P)的定义域的内点则f(P)在点P0处连续于是)()(lim00PfPfPP例8求