线性代数真题1987-2013选择题

线性代数历年考研试题精解-19-二、选择题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设A为n阶方阵,且A的行列式0Aa,而*A是A的伴随矩阵,则*A等于（C）(A)a.(B)1a.(C)1na.(D)na.【考点】伴随矩阵的性质.解1*nAA.2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设A是n阶方阵,其秩rn,那么在A的n个行向量中（）(A)必有r个行向量线性无关.(B)任意r个行向量线性无关.(C)任意r个行向量都构成最大线性无关向量组.(D)任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表出.【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组.解()RArnA的行秩rnA的行向量组的最大无关组含r个行向量.选(A).3.(1988—Ⅰ,Ⅱ)n维向量组12,,,(3)ssn线性无关的充分必要条件是（D）(A)存在一组不全为零的数12,,,skkk,使11220sskkk.(B)12,,,s中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.【考点】向量组线性相关的性质.解“向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D).对(A):“存在”改为“任意”就正确.对(B):如123101,,011中任意两个向量都线性无关,但123,,线性相关.对(C):123100,,012中1不能由23,线性表示,但123,,线性相关.4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设A是n阶方阵,且A的行列式0A,则A中（）(A)必有一列元素全为零.(B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合.(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.【考点】向量组线性相关的判别定理.解0A()RAnA的列(或行)秩nA的列(或行)向量组线性相关.选(C).线性代数历年考研试题精解-20-5.(1989—Ⅳ)设A和B均为nn矩阵,则必有（）(A)ABAB.(B)ABBA.(C)ABBA.(D)111()ABAB.【考点】矩阵的性质.解ABABBA.选(C).6.(1989—Ⅴ)设n元齐次线性方程组0Ax的系数矩阵A的秩为r，则0Ax有非零解的充分必要条件是（）(A)rn.(B)rn.(C)rn.(D)rn.【考点】齐次线性方程组解的理论.解齐次线性方程组110mnnmAx有非零解的充分必要条件是()RAn.选(B).7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知12,是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解,12,是对应齐次线性方程组0Ax的基础解系,12,kk为任意常数,则方程组Axb的通解（一般解）必是（）(A)1211212()2kk.(B)1211212()2kk.(C)1211212()2kk.(D)1211212()2kk.【考点】非齐次线性方程组解的结构.解112,线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故112,是对应齐次线性方程组0Ax的基础解系;又121222AAAb,故122为Axb的一个特解;由非齐次线性方程组解的结构,知选(B).对(A):122为0Ax的解.对(C):12为2Axb的解,且122为0Ax的解.对(D):112,不一定线性无关.8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组12,,,s线性无关的充分条件是（）(A)12,,,s均不为零向量.(B)12,,,s任意两个向量的分量不成比例.(C)12,,,s中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示.(D)12,,,s中有一部分向量线性无关.线性代数历年考研试题精解-21-【考点】向量组线性无关的性质.解向量组12,,,s线性无关的充分必要条件是12,,,s中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示.选(C).对(A):如123101,,011均不为零向量,但123,,线性相关.对(B):如123101,,011中任意两个向量的分量不成比例,但123,,线性相关.对(D):如123101,,011中1线性无关.9.(1990—Ⅴ)设A是n阶可逆矩阵,*A是A的伴随矩阵,则（）(A)1*nAA.(B)*AA.(C)*nAA.(D)*1AA.参考1.(1987—Ⅰ,Ⅱ).选(A).10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设n阶方阵,,ABC满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有（）(A)ACBE.(B)CBAE.(C)BACE.(D)BCAE.【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.解由()EABCABC知BC是A的逆矩阵.选(D).11.(1991—Ⅳ)设A为n阶可逆矩阵,是A的一个特征值,则A的伴随矩阵*A的特征值之一是（）(A)1nA.(B)1A.(C)A.(D)nA.【考点】特征值的性质.解选(B).****()()()AAxxAAxAxAxAxAxx.12.(1991—Ⅴ)设,AB为n阶方阵,满足等式ABO,则必有（）(A)AO或BO.(B)ABO.(C)AO或BO.(D)ABO.【考点】矩阵的性质.解选(C).00ABOABAB.13.(1991—Ⅴ)设A是mn矩阵,0Ax是非齐次线性方程组Axb所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（）(A)若0Ax仅有零解,则Axb有唯一解.(B)若0Ax有非零解,则Axb有无穷多个解.线性代数历年考研试题精解-22-(C)若Axb有无穷多个解,则0Ax仅有零解.(D)若Axb有无穷多个解,则0Ax有非零解.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解选(D).Axb有无穷多个解()()()RARBnRAn0Ax有非零解.对(A):如1212120200xxxxxx仅有零解,但1212120201xxxxxx无解.对(B):如12120220xxxx有非零解,但12120222xxxx无解.对(C):Axb有无穷多个解,则0Ax有非零解.14.(1992—Ⅰ,Ⅱ)要使12100,121都是线性方程组0Ax的解,只要系数矩阵A为（）(A)211.(B)201011.(C)102011.(D)011422011.【考点】齐次线性方程组解向量的定义.解选(A).【注意】只需验证12,AO.15.(1992—Ⅳ)设A为mn矩阵,齐次线性方程组0Ax仅有零解的充分条件是（）(A)A的列向量线性无关.(B)A的列向量线性相关.(C)A的行向量线性无关.(D)A的行向量线性相关.【考点】齐次线性方程组解的理论,矩阵的秩及向量组的线性相关性.解0Ax仅有零解()RAnA的列秩nA的列向量线性无关.选(A).16.(1992—Ⅴ)设11,,,ABABAB均为n阶可逆矩阵,则111()AB等于（）(A)11AB.(B)AB.(C)1()AABB.(D)1()AB.【考点】逆矩阵的性质.解选(C).11111111(())()()AABBBABAABEAAB.或1111111()[()]()()()()ABAABBEBAABBBABABBE.17.(1992—Ⅴ)设12,,,m均为n维向量,那么,下列结论正确的是（）线性代数历年考研试题精解-23-(A)若11220mmkkk，则12,,,m线性相关.(B)若对任意一组不全为零的数12,,,mkkk,都有11220mmkkk,则12,,,m线性无关.(C)若12,,,m线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,mkkk,都有11220mmkkk.(D)若120000m,则12,,,m线性无关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.18.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知12324,369QtP为3阶非零矩阵,且满足PQO,则（）(A)6t时P的秩必为1.(B)6t时P的秩必为2.(C)6t时P的秩必为1.(D)6t时P的秩必为2.【考点】矩阵的秩及其性质.解()()31()3()PQORPRQRPRQ.当6t时,()11()2()RQRPRP1或2,则(A)和(B)都错;当6t时,()21()1()1RQRPRP.选(C).【注】(1)()()mssnABORARBs.(2)mssnABO,则B的列向量组为mssnAxO的解向量.19.(1993—Ⅳ)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）(A)充分必要条件.(B)充分而非必要条件.(C)必要而非充分条件.(D)既非充分也非必要条件.【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件).解选(B).20.(1993—Ⅴ)若12312,,,,都是四维列向量,且4阶行列式1231,,,m,1223,,,n,则4阶行列式32112,,,()等于（）(A)mn.(B)()mn.(C)nm.(D)mn.【考点】矩阵的运算及行列式的性质.解选(C).3211232113212,,,(),,,,,,线性代数历年考研试题精解-24-12311223,,,,,,nm.21.(1993—Ⅴ)设2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵211()3A有一特征值等于（）(A)43.(B)34.(C)12.(D)14.【考点】特征值的性质.解213A有一特征值21433,则211()3A有一特征值34.选(B).22.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组1234,,,线性无关,则向量组（）(A)12233441,,,线性无关.(B)12233441,,,线性无关.(C)12233441,,,线性无关.(D)12233441,,,线性无关.【考点】判别向量组线性相(无)关的方法.解对(A):12342341()()()(),则12233441,,,线性相关.对(B):12233441()()()(),则12233441,,,线性相关.对(D):12233441()()()(),则12233441,,,线性相关.故选(C).或对(A):12233441123410011100[,,,][,,,]01100011,线性代数历年考研试题精解-25-10011001110001010110001100110000,所以12233441(,,,)34R,则122