高等数学课件D13函数的极限

第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求Ax2确定直接观测值精度:0xx0xA机动目录上页下页返回结束定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,,0,0当00xx时,有Axf)(则称常数A为函数当时的极限,Axfxx)(lim0或即当时,有若记作几何解释:0xAAAx0xy)(xfy极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:机动目录上页下页返回结束例1.证明证:Axf)(故,0对任意的,0当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例2.证明证:12x欲使,0取,2则当10x时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束例3.证明证:Axf)(故,0取,当时,必有2112xx因此211lim21xxx机动目录上页下页返回结束例4.证明:当证:001xxx欲使,0且而可用因此只要00limxxxx时故取,,min00xx则当00xx时,保证.必有ox0xx机动目录上页下页返回结束2.保号性定理定理1.若且A0,.0)(xf)0)((xf证:已知即,0当时,有当A0时,取正数则在对应的邻域上(0))(A则存在(A0)(P37定理3))0(机动目录上页下页返回结束:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:23)(2AxfA2)(23AxfA(P37推论)分析:机动目录上页下页返回结束定理2.若在的某去心邻域内0)(xf)0)((xf,且则.0A)0(A证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,.0A(同样可证0)(xf的情形)思考:若定理2中的条件改为,0)(xf是否必有?0A不能!存在如假设A0,条件矛盾,故机动目录上页下页返回结束3.左极限与右极限左极限:)(0xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有右极限:)(0xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有定理3.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00(P38题8)机动目录上页下页返回结束例5.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时)(xf的极限是否存在.xyo11xy11xy解:利用定理3.因为)(lim0xfx)1(lim0xx1)(lim0xfx)1(lim0xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0xfx不存在.机动目录上页下页返回结束XXAAoxy)(xfyA二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2.设函数大于某一正数时有定义,若,0X则称常数时的极限,Axfx)(lim几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线y=A为曲线的水平渐近线,0机动目录上页下页返回结束A为函数例6.证明.01limxx证:01xx1取,1X因此注:就有故,0欲使即oxyxy1机动目录上页下页返回结束x1x11直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当时,有Axf)(,0,0X当Xx时,有Axf)(几何意义:例如，都有水平渐近线;0y都有水平渐近线.1y又如，机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或X定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3例3作业P371(4);2(2);5;6;7;9Th1Th3Th2是否一定有第四节目录上页下页返回结束1,121,2xxxxa？