八年级下册初二数学 《因式分解》教案

第1页共15页因式分解【知识梳理】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：111()333axbxxab因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解的方法提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。---------系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数)【例题】333234221286abcabcabc的公因式是．【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,abcabcabc都含有因式32abc，故多项式的公因式是232abc．小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。第2页共15页注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。【基础练习】1．ax、ay、－ax的公因式是__________；6mn2、－2m2n3、4mn的公因式是__________．2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1B．)11(22222xxxxC．（x＋2）（x－2）＝x2－4D．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）3．将多项式－6x3y2＋3x2y2－12x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）A．－3xyB．－3x2yC．－3x2y2D．－3x3y34．多项式an－a3n＋an＋2分解因式的结果是（）A．an（1－a3＋a2）B．an（－a2n＋a2）C．an（1－a2n＋a2）D．an（－a3＋an）5．把下列各式因式分解：5x2y＋10xy2－15xy3x（m－n）＋2（m－n）3（x－3）2－6（3－x）y（x－y）2－（y－x）3－2x2n－4xnx（a－b）2n＋xy（b－a）2n＋16．应用简便方法计算：（1）2012－201（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．第3页共15页【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）－16a2b－8ab＝________________________；（2）x3（x－y）2－x2（y－x）2＝________________________．2．在空白处填出适当的式子：（1）x（y－1）－（）＝（y－1）（x＋1）；（2）cbab3294278（）（2a＋3bc）．3．如果多项式x2＋mx＋n可因式分解为（x＋1）（x－2），则m、n的值为（）A．m＝1，n＝2B．m＝－1，n＝2C．m＝1，n＝－2D．m＝－1，n＝－24．（－2）10＋（－2）11等于（）A．－210B．－211C．210D．－25．已知x，y满足,13,62yxyx求7y（x－3y）2－2（3y－x）3的值．6．已知x＋y＝2，,21xy求x（x＋y）2（1－y）－x（y＋x）2的值7．因式分解：（1）ax＋ay＋bx＋by；（2）2ax＋3am－10bx－15bm．第4页共15页运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。平方差公式式子：))((22bababa语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。【例题1】在括号内写出适当的式子：0．25m4＝（）2；ny294（）2；121a2b6＝（）2．【例题2】因式分解：（1）x2－y2＝（）（）；（2）m2－16＝（）（）；（3）49a2－4＝（）（）；（4）2b2－2＝（）（）．【基础练习】1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A．y2－49x2B．4491xC．－m4－n2D．9)(412qp2．下列因式分解错误．．的是（）A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a）B．x3－x＝x（x2－1）C．a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc）D．)l.032)(32l.0(l0.09422nmmnnm3．把下列各式因式分解：（a＋b）2－64m4－81n4（2a－3b）2－（b＋a）24．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092；（2）3.14×512－3.14×492．第5页共15页5．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，（1）求x－2y的值；（2）求x和y的值．【提高练习】1．因式分解下列各式：（1）mm3161＝_____________________；（2）x4－16＝_____________________；（3）11mmaa＝_____________________；（4）x（x2－1）－x2＋1＝_________________．2．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，结果是（）A．0B．16n2C．36m2D．24mn3．下列因式分解正确的是（）A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b）B．a5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2）C．)21)(21(212212aaaD．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3）4．把下列各式因式分解：m2（x－y）＋n2（y－x）3（x＋y）2－27（3m2－n2）2－（m2－3n2）25．已知,4425,7522yx求（x＋y）2－（x－y）2的值．6．分别根据所给条件求出自然数x和y的值：（1）x、y满足x2＋xy＝35；（2）x、y满足x2－y2＝45．第6页共15页完全平方公式（1）式子：222222)(2)(2babababababa拓展：))(())((22332233babababababababa【例题】分解因式：22222222)2(22244)7(7724914aaaaaxxxxx【变式练习】1．分解因式：41242xx=；21449aa=．2．因式分解244aa，正确的是()A．24(1)aaB．2(2)aC．(2)(2)aaD．2(2)a【注意】①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。【例】223)(9)(6)(nmnmnm②当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。【例】)2)(2(2)2(2)4(2822223xxxxxxxxx【变式练习】1．分解因式：222050xx．2．分解因式：2)(9)(124yxyx．3．分解因式：2882xyxyy___________．4．分解因式：(a+b)3－4(a+b)=__________________________________________________．5．分解因式：3m(2x－y)2－3mn2＝_______________________________________________．6．因式分解：2222(1)2(1)(1)xyxyy【基础练习】第7页共15页1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：（1）x2＋6x＋（）＝（）2；（2）x2－（）＋4y2＝（）2；（3）a2－5a＋（）＝（）2；（4）4m2－12mn＋（）＝（）22．若4x2－mxy＋25y2＝（2x＋5y）2，则m＝__________．3．将a2＋24a＋144因式分解，结果为（）A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）C．（a＋12）2D．（a－12）24．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（）①9a2－1；②x2＋4x＋4；③m2－4mn＋n2；④－a2－b2＋2ab；⑤;913222nmnm⑥（x－y）2－6z（x＋y）＋9z2．A．2个B．3个C．4个D．5个5．下列因式分解正确的是（）A．4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1）2B．18x－9x2－9＝－9（x＋1）2C．4（m－n）2－4（n－m）＋1＝（2m－2n＋1）2D．－a2－2ab－b2＝（－a－b）26．把下列各式因式分解：a2－16a＋64－x2－4y2＋4xy（a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）24x3＋4x2＋x7．计算：（1）2972（2）10.328．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2的值．第8页共15页【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）25（p＋q）2＋10（p＋q）＋1＝__________________________________________；（2）an＋1＋an－1－2an＝__________________________________________；（3）（a＋1）（a＋5）＋4＝__________________________________________．2．如果x2＋kxy＋9y2是一个完全平方公式，那么k是（）A．6B．－6C．±6D．183．如果a2－ab－4m是一个完全平方公式，那么m是（）A．2161bB．2161bC．281bD．281b4．如果x2＋2ax＋b是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（）A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a25．把下列各式因式分解：2mx2－4mxy＋2my2x3y＋2x2y2＋xy32341xxx（m2＋n2）2－4m2n2x2＋2x＋1－y2x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1（a＋1）2（2a－3）－2（a＋1）（3－2a）＋2a－36．若,31xx求221xx的值．第9页共15页7．若a4＋b4＋a2b2＝5，ab＝2，求a2＋b2的值．8．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：（1）a3＋8（2）27a3－1分组分解法(拓展)①将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：bnbmanam、baba22等步骤：1．分组2．提取公因式【例题1】把多项式1abab分解因式解：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)abbab【变式练习】因式分解：bcacaba2321aaayyxx22②将多项式分组后能运用公式进行因式分解．(三一分项)形式：2222cbaba【例题2】将多项式2221aabb因式分解解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab第10页共15页【变式练习】因式分解：xyyx2252219622yxyx十字相乘法(拓展)形式：))(()(2qxpxpqxqpx(二次项系数为1)2()xpqxpq分析：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和pq为一次项系数。【例题1】分解因式：322xx2．因式分解：652xx形式：).)((22112cxacxacbxax(拓展)2121221121122()()()()().axbxcaxaxacxacxccxaxcaxc分析：a=21aa；c=21cc，1221cacab