线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料

1第三节矩阵的秩主要内容矩阵的秩的概念；初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵的秩的求法；矩阵的秩的基本性质.基本要求理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；知道矩阵的标准形与秩的联系；知道矩阵的秩的基本性质.2一、k阶子式例如11178424633542A11826D是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.DAA182423CC一般地，矩阵的阶子式共有个.nmAkknkmCC.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm3二、矩阵的秩定义设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.ArD1rDAr)(AR)(Ar规定：零矩阵的秩等于0.例1求矩阵和的秩.AB,174532321A00000340005213023012B4,174532321A在中，容易看出一个2阶子式A,013221D的3阶子式只有一个A,0A因此.2)(AR在中，B由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，024400230312因此.3)(BR00000340005213023012B这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式AB5说明根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为零，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；A1r1rr矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；AA当矩阵中有某个阶子式不为0，则As;)(sAR当矩阵中所有阶子式都为0，则At;)(tAR6对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.nnAR)(AA由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.nAnA0A.)(nAR7四、矩阵的秩的计算定理1若，则BA~).()(BRAR即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明略8例2设,41461351021632305023A求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式.AA解析：根据定理1，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.AA41461351021632305023A41rr42rr132rr143rr128121601179120113404146191281216011791201134041461233rr244rr8400084000113404146134rr00000840001134041461所以.3)(AR大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换10再求的一个最高阶非零子式.Ar1615026235230A000400140161r因此,3)(0AR41461351021632305023A00000840001134041461在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式0A0AA11502623523.0521162)1(502110652321说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.41461351021632305023A312133003.012例3设,6352132111A已知，求与的值.2)(AR解析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是用定义；二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.2)(ARA6352132111A123rr135rr4580443021111345804430211123rr018044302111因为，故2)(AR,01,05即.1,5说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.14分块矩阵的概念用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操作”称为对矩阵进行分块，每一个小块称为子块；这样处理矩阵的方法称为分块法；矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.说明分块矩阵只是形式上的矩阵；分块法的优越之处是：•把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.•矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利用它的特殊结构，使运算简化.•可为某些命题的证明提供方法.15例如343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA,2121121111aaaaA得到4个子块：,2423141312aaaaA,323121aaA,343322aaA以这些子块为元素，于是，得到的按照这种分法的分块矩阵：A22211211AAAAA这是一个形式上为的分块矩阵2216343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaAA对还可以进行其它分法，如下面的两种分法：343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA4321AAAAA321AAAA17五、矩阵的秩的性质若为矩阵，则Anm};,min{)(0nmAR);0)(()(),()(kARkARARART若，则BA~).()(BRARQP、若可逆，则);()(ARPAQR),()(),()}(),(max{BRARBARBRAR特别地，当b为列向量时，有;1)(),()(ARbARAR即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.18矩阵的秩的性质);()()(BRARBAR,OBAlnnm若则.)()(nBRAR)};(),(min{)(BRARABR（下节）（下章）19例4设为矩阵，为矩阵，证明AnmBmn,nm.0AB证根据性质7，有,)(mnABR而为阶矩阵，所以ABm.0AB关于矩阵的秩的性质的证明题20关于矩阵的秩的性质的证明题例5设为阶矩阵，证明An.)()(nEAREAR证因为,2)()(EAEEA由性质6，有)()(AEREAR而),()(EARAER所以.)()(nEAREAR,)2())()((nERAEEAR21六、小结矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数定义的；矩阵的秩的求法：根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩阵的行数就是矩阵的秩；矩阵的秩的性质.可逆矩阵的特征刻画：阶矩阵可逆nAEBAABB使存在,为非奇异矩阵）AA(0det22)(,EBAEABB或使存在是可逆矩阵的伴随矩阵AA个非零行的行阶梯形矩阵有nA)~(EAEAr的行最简形是)~(EAEA的标准形是)()(是满秩矩阵的秩AnARA是若干个初等矩阵之积A