基本不等式易错 微课

基本不等式应用的易误点教学目标1.理解利用基本不等式求最值时，“一正、二定、三相等”三个前提条件缺一不可．2.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.基础梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：______________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．a0，b0a＝b变形：2(1)2(0,0);(2)(0,0).2ababababababab当且仅当时，等号成立。2．利用基本不等式求最值已知a0，b0，则(1)如果积ab是定值p，那么当且仅当_______时，a＋b有_____值是_______.(简记：积定和最小)(2)如果和a＋b是定值q，那么当且仅当_______时，ab有______值是_____.(简记：和定积最大)a＝b最小2p2ababa＝b最大24q22abab一正二定三相等(1)已知x＞1，求f(x)＝x＋1x－1的最小值；(2)已知0＜x＜25，求y＝2x－5x2的最大值．例1【解】(1)∵x＞1，∴x－1＞0，∴f(x)＝x＋1x－1＝（x－1）＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．∴f(x)的最小值为3.例题应用(1)已知x＞1，求f(x)＝x＋1x－1的最小值；(2)已知0＜x＜25，求y＝2x－5x2的最大值．例1(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)∵0x25，＝15·5x·(2－5x)．∴5x(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，∴5x2,2－5x0，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，ymax＝15.例题应用(2011·重庆高考)14002ababyab已知，，，则的最小值是（）79..4..522ABCD例22()0,0,2,1.414442,414.1ababababyababababy又又[常见误解]错因：基本不等式中等号成立的条件把握不准致误例题应用(2011·重庆高考)14002ababyab已知，，，则的最小值是（）79..4..522ABCD例22,1.2abab[正解]1414525292,222222abbabaabababab21492.22abbaybaab当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为例题应用C1.利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式成立的条件：即一正，二定，三相等，否则求解时会出现等号成立的条件不具备而出错．2.若在同一题目中，两次或两次以上利用基本不等式，等号应同时成立．反思小结目标检测1．(1)已知x0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为__________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为__________；（3）(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6-21（3）(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6【解析】∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy，得151y＋3x＝1.【答案】C∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx≥5