机械振动 频率方程、振型与正则坐标

主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标频率方程与特征值问题设n自由度系统运动方程0KxMx(3.2-1)的解为steXx(3.2-2)即设系统的各坐标作同步协调振动。将式(3,2-2)代入式(3,2-1)，得到0XKMstse2(3.2-3)由于0est，所以有0XKM2s（3.2-4)即MXKX2s(3.2-5)频率方程与特征值问题在线性代数中，形如BxAx称为广义特征值问题，如果矩阵B可逆，可以将上式表示成我们在线性代数中学过的特征值问题xAxB1对于式(3.2-4)，令KMA2s(3.2-5)称为特征矩阵。频率方程与特征值问题0XKM2s(3.2-4)由式(3.2-4)可以看出，要使X有非零解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程（特征方程）02KMs(3.2-6)式(3,2-6)是关于2s的n次多项式，由它可以求出n个固有频率：)Im(iisn个自由度系统具有n个固有频率。频率方程与特征值问题一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等（也有特殊情况）。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列)Im(iisn210其中最低阶固有频率称为第一阶固有频率或称基频，然后一次称为二阶、三阶固有频率。频率方程与特征值问题将各个固有频率代入式(3.2-4)0XKM2s(3.2-4)可分别求出对应的X。例如对于固有频率i可以求出T)()(2)(1,,,iniiixxxX，它满足0XKMiis2iX表示系统在以i的频率作自由振动时，各自由度振幅的相对大小，称之为系统的第i阶主振型，也称为固有振型或主模态。对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型。例题试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量kkkk321，物体的质量mm1,mm22。12解：建立系统的运动方程00222002121xxkkkkxxmm质量矩阵mm200M刚度矩阵kkkk22K解频率方程，求0)22)(2(022222222kmskmskmskkkmsk系统的第一阶和第二阶固有频率为mks634.021，mks366.222所以mk796.01，mk538.12对于mk796.01，特征矩阵kmskkkmsks732.011366.1222222KMA把它代入式(3.2-4)，可得00732.011366.121XX解之，得1732.021XX即第一阶振型1732.01X对于mk538.12，特征矩阵kmskkkmsks731.211365.0222222KMA把它代入式(3.2-4)，可得00731.211365.021XX解之，得1731.221XX即第二阶振型1731.22X主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做耦合（coupling），具有耦合性质的系统叫耦合系统。像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦合或弹性耦合。另外，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦合或质量（惯性）耦合。mxkkxkxmxkxkx111212222212200()坐标耦合（耦联）00002222111122112221xlklklklklklkkkxJm2211lklkl1l2Gmg11k22kCG)(11lxk)(22lxkx静力耦合或弹性耦合质心与几何中心不重合质心x几何中心坐标耦合4231lklk000024223121cccxlklkkkxJmememG11k22kCl4l3G)(31lxkc)(42lxkcxcC动力耦合或质量耦合C几何中心坐标耦合0012222211111xlklklkkkxJmlmlmx=x1ll1l2Gmg11k22k11xk)(12lxkx1G静力与动力耦合坐标耦合坐标耦合某个系统中是否存在耦合取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。通过适当的选择坐标，可以将系统的运动方程表示成既无静力耦合又无动力耦合的形式。采用主坐标或正则坐标可以使运动方程解耦。主要内容频率方程与特征值问题坐标耦合模态正交性与主坐标n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。jiu,uji,iiiMuKu2jjjMuuK2对应于Tiu两边左乘转置，然后右乘jujiijiuMuuKuT2TjijjiuMuuKuT2T0T22jijiuMu相减ijji0TjiuMu0TjiuKu表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。ijijiiiMMuuTniKiii,,3,2,1,TuKuKi称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。niMKiiiiiii,,3,2,1,TT2MuuKuu0TjiuMu0TjiuKu可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即nnnnnnnuuuuuuuuu21222211121121)(uuuUrrKKUUMMUUTT根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质nrMMM21MnrKKK21K主质量矩阵主刚度矩阵使Mr由对角阵变换为单位阵将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即iiiMuu1~这样得到的振型称为正则振型。jijiji,0,1~~TuMujijiiji,0,~~2TuKu正则振型的正交关系是第i阶正则振型第i阶固有频率以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即222212TT~~111~~nUKUIUMU由正交性可导出正则矩阵两个性质谱矩阵nnnnnnnuuuuuuuuu~~~~~~~~~)~~~(~21222211121121uuuU在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力耦合又有静力耦合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现耦合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵U与正则振型矩阵，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。U~由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第i个模态坐标代表在位移向量中第i阶主振型（模态振型）所作的贡献。任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，而不是模态耦合的结果。各阶模态之间是不耦合的。写出图示系统的主振型矩阵和正则振型矩阵，以及用正则坐标表示的系统运动方程。2115.04709.05092.21007.17274.08733.10000.10000.10000.1321uuuU由质量矩阵，可求出主质量矩阵200010001mMmmmr3010.20009726.10001014.17TMUUM解：将各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵例题于是，可得各阶正则振型3333222211116592.01~7120.01~2418.01~uuuuuuuuumMmMmM以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵1394.03353.06067.07256.05179.04530.06592.07120.02418.01~mU110121012kK1007.30002726.10001267.0~~T2mkUKU由刚度矩阵可求出谱矩阵0pp201007.302726.101267.0332211pmkppmkppmkp可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为