机械振动固有频率与振型

返回首页TheoryofVibrationwithApplications固有频率主振型主坐标和正则坐标固有频率相等的情形多自由度系统固有频率与振型返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsmxmxmxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmxmxkxkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000设n自由度系统运动微分方程的特解为nitAxii,3,2,1)sin(即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为)sin(tAxMxKx0多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsAAAAAAAnnT1212将解式代入系统运动微分方程，并消去，得到)sin(t0MAKA2MAKA20AMK)(2MxKx0多自由度系统固有频率主振型)sin(tAx返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsMKB20AMK)(2特征矩阵要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。0MK2式是关于ω2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications0MK2MAAKAAT2TMAKA2可得到AT前乘以下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正定的，因此有0TT2MAAKAA0TMAA于是，得到0TKAA多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications00TTKAAMAA，频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为n210其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。多自由度系统固有频率主振型对应于ωi可以求得A(i)，它满足返回首页TheoryofVibrationwithApplications0)()(2iiAMK0)(2AMKA(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsAAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。令，于是可得第i阶主振型矢量为Ani()1AiiiTAA121()()多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。MKB2BBBadj11特征矩阵逆矩阵BBIBadjBB乘以iiiBBIBadji代入0adjiiBBBi00)()(2iiAMK比较所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。AiiBadj任何非零列成比例多自由度系统固有频率主振型用矩阵A的第i行第j列的代数余子式把第j行第i列的元素替换掉得到就是A的伴随矩阵，记作adjA。返回首页TheoryofVibrationwithApplications当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有)sin(t0AMA2nitAxii,3,2,1)sin(0AIM)1(2012IMIML21特征矩阵频率方程求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将ωi值代入而求出.代入位移方程Mxx0多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications例1图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为Mmmm0000002K2020kkkkkkk将M和K代入频率方程02MK020202222mkkkmkkkmk多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications099232246mkmkmkmkmkmk1007.3,2726.1,1267.0232221mkmkmk7609.1,2810.1,3559.0321解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵mkkkmkkkmk222220202MKB多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmkmkkkmkkmkmkmkkkmkkkmkmkB设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将ω1值代入，得到第一阶主振型为A1100001873325092...AA()......23100000727404709100001100702115得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示多自由度系统固有频率主振型归一化后，即令返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsiAMK)(2=0主振型也可由式求得0)(2AMK321,,代入Aii11123(,,)可得主振型多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications例2在例1中，若k1=0,求系统的固有频率和主振型。k10Kkkkkkkk020相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：mkkkmkkkmk2222020B0)472(222243mkkmm特征矩阵为可得到频率方程多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsmkmk7808.2,7192.0,0232221mkmk6676.1,8481.0,0321解出得到三个固有频率321,,Badj22222)2)(()(kmkmkmkkk分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型AAA121100001000010000100000280806404100001780803904...,...,...多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsAAA121100001000010000100000280806404100001780803904...,...,...这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。K0多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications例4有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力T很大，因而各点的横向位移不会使拉力有明显的变化。设m1=m2=m3=m，尺寸如图所示，试用位移方程求该系统的固有频率和主振型。解：系统的质量矩阵是Mmmm000000其柔度矩阵可按柔度影响系数求出多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications1121311311T11TlFlF首先仅在m1质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是画出m1的受力图。根据平衡条件，得Tl4311m1211131112324134lTlT,由图中三角形的几何关系可解出112131多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications3212421234TFl写出柔度矩阵系统的特征矩阵为222T210001000132124212341FmlIMLL322422321T4Fml多自由度系统固有频率主振型得频率方程，即得返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsL0()()28802求出各根，按递降次序排列1232222222(),,()于是得到系统的固有频率mlTmlTmlT4)22(21,2,4)22(21232221多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications为求系统的主振型，先求出adjL的第一列)4(42)3(24)3)(4(adj222LAAA123121101121,,321,,代入各阶主振型归一化多自由度系统固有频率主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications主振型的正交性主振型矩阵与正则振型矩阵主坐标和正则坐标多自由度系统主坐标和正则坐标返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsn自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。AAij,ji,iiiMAAK2jjjMAAK2对应于()AiT两边左乘转置，然后右乘AjjTiijTiMAAAKA)()(2jTijjTi