(完整版)初二第一章直角三角形讲义

1直角三角形教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角三角形222cba两锐角互余CD=AD=BD(斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt△分成两等腰三角①若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△;②若222cba，则△ABC为Rt△;③若CD=AD=BD，黄金直角三角形2:3:1::cba2DABC等腰直角三角形2:1:1::cba形；②等腰Rt△斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt△。则△ABC为Rt△;1、掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质2、掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于()A.90°B.135°C.270°D.315°2、已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D点,BD=12AC.则∠A=_____.3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为.4、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm变式：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。ADCB3DABCE2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．4．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为cm．5、已知:如图,AD为△ABC的高,E为AC上的一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证:BE⊥AC.AEDCBF1241、如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?2、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么2()ab的值为（）A．13B．19C．25D．1693．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于2π．变式：1、如图网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_________。2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．[来源:学#科#网]53．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于（）A4B5C6D144、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？例：如图，在Rt△DBC中，∠C=900，∠A=300，BD是∠ABC的平分线，AD=20，求BC的长。如图所示，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F．求证：EB=FC．l321S4S3S2S1东北FEABABCEFDABDC6如图，在等腰直角三角形ABC中，90Cº，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD并交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G．求证：CGBD．直角三角形与等腰三角形的综合1、如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③变式：1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为斜边BC上两点（不与B、C重合），且∠DAE=45°，把△ABD沿着AD折叠，得到△ADF．那么正确结论有（）①△DEF是直角三角形；②△AFE≌△ACE；③BD+EC＞DE；④AF是∠BAC的平分线．A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、ACGHEFDB7DCBAAC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④1．如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求AD的长，与四边形ABCD的面积。[来源:学|科|网Z|X|X|K]2、如右图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=3，则图中阴影部分的面积为（）.A．33B．36C．3D．233．直角三角形周长是62，斜边上的中线为1，则这个直角三角形的面积为（）。A．51B．41C．31D．214：如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．5、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．ABCDFE8（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．6、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P到三边的距离相等，这个距离为。7：在直角三角形中，若两直角边ba,满足,60,17abba则斜边长为。8．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？9.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转到△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300。（1）求点B与点A′的坐标；（2）求经过点B与点B′的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A′是否在直线BB′上.xyABOA′B′9课后练习A组（基础巩固）1、下列说法：①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。2、在以下列各组数为边长的三角形，不是直角三角形的是()A、3，4，5B、2，2，3C、7，24，25D、2，7，33．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4等于()A、4B、5C、6D、104.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2B．3C．22D．235、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形6．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE的度数为（）A600B900C1200D不确定7．如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米。8、用刻度尺和圆规在数轴上找出5的点.l321S4S3S2S110