2直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题1直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．yxOAB【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）C4C3C2C1yxOAB重点还是如何求得点坐标，12CC、求法相同，以2C为例：【构造三垂直】故C2坐标为（132，0）代入得：BN=32AMBN=MBNC2由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3△易证AMB∽△BNC2MNBAOxyC2直角三角形存在性问题234CC、求法相同，以3C为例：故a=1或3设MC3=a，C3N=b△易证AMC3∽△C3NB，由A、B坐标得AM=1，BN=3，AMC3N=MC3NB代入得：1b=a3，即ab=3，又a+b=4，故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）MNBAOxyC3构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下1C待求，不妨来求下1C：BAOxyC1（1）表示点：设1C坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示线段：25AB，22111ACm，22153BCm；（3）分类讨论：当1BAC为直角时，22211ABACBC；（4）代入得方程：2222201153mm，解得：32m．直角三角形存在性问题3还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线1AC与AB互相垂直，11ACABkk，可得：12ACk，又直线1AC过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为3,02，即1C坐标为3,02．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．直角三角形存在性问题4如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．【三垂直构造等腰直角三角形】【2019兰州中考（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：ABCDE321AC=DE，BC=AE△ABC≌△DAE（AAS）BCA=AED=90°AB=AD1=23+1=90°2+3=90°ACB=90°，DEACACB=90°BAD=90°斜边AB绕点A顺时针旋转90°，得到AD【模型迁移】二次函数22yaxbx的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数22yaxbx的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．ABCDOMNxy直角三角形存在性问题5【分析】（1）213222yxx；（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等．设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，由图可知：42abba，解得：13ab．故D点坐标为（1,3）．HQPyxNMODCBA同理可求此时D点坐标为（3,2）．yxNMODCBAHQP思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求．P点横坐标同D点，故可求得D点坐标．ABCOxyMPPMyxOCBA直角三角形存在性问题6【2017本溪中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与x轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为5(4,)2C，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．ABCDOxy【分析】（1）21322yxx；（2）①当∠POQ为直角时，考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必为1，故P的纵坐标为±1．如下图，不难求出P点坐标．设P点坐标为213,22mmm，可得：213122mm．解得：112m，212m，316m，416m（舍）．如下图，对应P点坐标分别为12,1、12,1、16,1．PyxODCBAQNMPyxODCBAQNMMNQABCDOxyP直角三角形存在性问题7②当∠OPQ为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．设P点坐标为213,22mmm，则22131302222PMmmmm，QN=1m，∴213122mmm，若213122mmm，解得：15m，25m（舍）．若213122mmm，解得：125m，225m（舍）．如下图，对应P点坐标分别为5,15、25,15．PyxODCBAQNMQABCDOxyP对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．直角三角形存在性问题8【2019阜新中考】如图，抛物线22yaxbx交x轴于点(3,0)A和点(1,0)B，交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为(1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．yxOCBA备用图ABCDOPxy直角三角形存在性问题9【分析】（1）224233yxx；（2）连接AC，将四边形面积拆为△APC和△ADC面积，考虑△ADC面积为定值，故只需△APC面积最大即可，铅垂法可解；（3）过点N作NE⊥x轴交x轴于E点，如图1，过点M向NE作垂线交EN延长线于F点，易证△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．设N点坐标为224,233mmm，则224233NEmm，1FMm，∴2242133mmm2242=133mmm，解得：17734m（图1），27734m（图4）对应N点坐标分别为773373,44、773373,44；2242=133mmm，解得：31734m（图2）、41734m（图3）对应N点坐标分别为173373,44、173373,44．EFEFEFEF图4图3图2图1NMNMNMMNABCOxyABCOxyABCOxyyxOCBA当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．直角三角形存在性问题10一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．【对称轴上寻找点】（2018·安顺中考）如图，已知抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线1x，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C．（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1x上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P坐标．-1ABCOxy【分析】（1）直线BC：3yx抛物线：223yxx；（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点P：P4P3P2P1-1ABCOxy直角三角形存在性问题11以1P为例，构造△PNB∽△BMC，考虑到BM=MC=3，∴BN=PN=2，故1P点坐标为（-1，-2）．MNP1yxOCBA-1易求2P坐标为（1,4）．yxOCBA-1P23P、4P求法类似，下求3P：已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，由相似得：12ab，即ab=2，由图可知：b-a=3，故可解：13172b，23172b（舍），对应3P坐标为3171,2．MNNMP4-1ABCOxyyxOCBA-1P3类似可求4P坐标为3171,2．直角三角形存在性问题12【抛物线上寻找点】（2018·怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22yaxxc与x轴交于(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．OyxDCBA直角三角形存在性问题13【分析】（1）抛物线：223yxx，直线AC：y=3x+3；（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了．B'ABCDMxyO（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，有如下两种情况，PNMMNABCDxyOOyxDCBAP先求过A点所作垂线得到的点P：设P点坐标为2,23mmm，则PM=m+1，AM=2202323mmmm，易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，∴212331mmm，解得：1103m，21m（舍），故第1个P点坐标为1013,39；再求过点C所作垂线得到的点P：223232PMmmmm，CN=m，2321mmm，解得：173m，20m（舍），故第2个P点坐标为720,39．综上所述，P点坐标为1013,39或720,39．直角三角形存在性问题14【动点还可能在……】（2019·鄂尔多斯中考）如图，抛物线22(0)yaxbxa与x轴交于(3,0)A，(1,0)B两点，与y轴交于点C，直线yx与该抛物线