004.2-从一维二维排列理解空间群

从一维二维排列理解晶体学相关概念一维排列如何描述？a01，a=？，A(x1)，B(x2)1，a=？，A(x1)，B(x2)，C(X3)如何描述？具有镜面(m)对称(m是一个点，和对称中心及2次轴等效)。m，a=？，A1(x1)，A2(x2)，B1(x3)，B2(x4)。由于具有镜面对称，为方便起见，规定将原点选择在镜面上。A1和A2可以通过镜面对称联系起来，称A1和A2等效。可知在坐标为-x1的位置一定还有一个A原子，又因为有平移对称性，x2=1-x1。因此，常用来表示x2。m，a=？，A(x1)，B(x2)。1xx1x2x3X2=1-x1;x3=-x1；x3和x2成平移对称，相互等效对于n种原子在一维方向的排列，其具有的一维空间对称性只有1和m两种。将这2种对称性称为2种空间群，因为它们所具有的对称操作关于动作的乘法符合群的定义。又因为这样的对称性只有那些占据整个一维空间的周期性排列才可能具有，故将其称为一维空间群。结构基元在一维排列中，每个周期中所包含的所有原子构成了平移对称操作时的最小实体单位，被称为结构基元。二维排列二维排列用二维点阵来描述。和一维排列一样，可抽象出相同点阵的排列也可以具有不同的二维空间对称性。描述一个二维排列结构时，要给出其空间对称性，周期的长度(二维中还要给出两个方向a、b和a、b间的夹角)，原子的坐标。二维排列中原点一般也选择在对称元素上。在二维排列中，需要两个方向以确定坐标，存在坐标轴的取向问题，这在晶体学中称为晶体的取向。同原点的选择类似，坐标轴也选取在某些和对称元素相平行或垂直的方向。二维排列-1取出一个斜形点阵。除平移对称(即点阵)外，只具有1次轴。由于只有1次轴，原点和坐标轴的取向都是任意的。其空间对称性可以记为p1。其结构可以这样描述：p1，a=？，b=？，=？，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)。二维排列-2取出一个斜形点阵。除平移对称(即点阵)外，只具有2次轴。原点选取在2次轴的位置。坐标轴的取向无特殊规定。其空间对称性记为p2(可能有人会有疑问：此处仅写出了p，只能代表是简单格子，并不能说明其是斜形格子啊？这一点可以放心，因为在后面写出了2次轴。对于对称性可以用空间群p2来表示的排列来说，其取出的必定是斜形点阵)。其结构可以这样描述：p2，a=？，b=？，=？，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)。对等效的原子，此处只写出了其中一个，下同。等效点系每一组等效点称为一个等效点系。第一列中的数字为该等效点系中等效点的数目。第二列中的a、b、c、d和e等没有实际意义，仅表示顺序。第三列中的数字(到后面还会看到字母)表示这些等效点所在的对称元素。后面为各等效点的坐标。等效点的坐标实际上是原子的可能的坐标。ab二维排列-3取出一个矩形点阵。除平移对称(即点阵)外，只具有对称面m。原点选取在对称面m上，坐标轴a的取向与对称面m垂直，b位于对称面上。其空间对称性可以记为p1m1(常简写为pm。关于这些符号将在后面进行说明)。其结构可以这样描述：p1m1，a=？，b=？，=90，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)。二维排列-4矩形点阵。滑移面g。原点选取在滑移面g上。坐标轴a的取向与滑移面g垂直，b位于滑移面g上。其空间对称性可以记为p1g1。其结构可以这样描述：p1g1，a=？，b=？，=90，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)。二维排列-5带心矩形点阵。对称面m和滑移面g。原点选取在对称面m上。其空间对称性可以记为c1m1(对于带心矩形点阵，只要告诉了与a垂直的对称面，在与a垂直并距离a为a/4的地方必定有滑移面，故不必将其写出)。其结构可以这样描述：c1m1，a=？，b=？，=90，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)。二维排列-6矩形点阵。相互垂直的两个对称面m，2次轴。原点选取在2次轴上。空间对称性记为p2mm。二维排列-7矩形点阵。一个对称面m和与其垂直的滑移面g，以及一个2次轴。原点取在2次轴上。其空间对称性记为p2mg。二维排列-8矩形点阵。两个垂直的滑移面g，以及一个2次轴。原点取在2次轴上。其空间对称性记为p2gg。二维排列-9菱形点阵(有心矩形格子)。两个垂直的对称面m、滑移面g以及2次轴。原点取在2mm上。空间对称性记为c2mm。二维排列-10正方点阵。4次轴和2次轴。原点选取在4次轴上。坐标轴a和b的取向无特殊要求。其空间对称性记为p4。二维排列-11正方形点阵。4次轴和2次轴及对称面m、滑移面g。原点选取在4mm上。其空间对称性记为p4mm。二维排列-12正方点阵。4次轴、2次轴及对称面m、滑移面g。原点选取在4次轴上。空间对称性记为p4gm。二维排列-13三角形点阵。3次轴原点选在3次轴上。坐标轴a和b的取向无特殊要求，a和b的夹角为120。空间对称性记为p3。二维排列-14三角形点阵。3次轴、称面m和滑移面g。原点选取在3m1上。空间对称性记为p3m1。二维排列-15三角形点阵。3次轴、称面m和滑移面g原点选取在3次轴上。坐标轴a和b的取向为使2a+b方向与对称面垂直的方向(即a和b与对称面平行)，a和b的夹角为120。空间对称性记为p31m。二维排列-16三角形点阵。6次轴、3次轴和2次轴。原点选取在6次轴上。其空间对称性记为p6。二维排列-17三角形点阵。6次轴、3次轴、2次轴和对称面m、滑移面g。原点选取在6次轴上。坐标轴a和b的取向分别与对称面m垂直，a和b的夹角为120。空间对称性记为p6mm。结构基元二维排列中，简单格子中所包含的所有原子构成结构基元。对于复格子，格子中结构基元的数目等于其包含的格点的数目。二维空间群对于原子在二维平面上的周期排列，无论有多少种原子，也无论它们排列形成的图案多么复杂，其具有的对称性只有上面所列出的17种。将这17种对称性称为17种二维空间群，因为它们所具有的对称操作关于动作的乘法符合群的定义。又因为这样的对称性只有那些占据整个二维空间的周期性排列才可能具有，故将其称为二维空间群。一维和二维空间群的符号在晶体学中，只要写出几个规定方向的对称元素，就可以由此推出其具有的所有其他对称元素。因此，晶体学中用几个规定方向的对称元素来作为空间群的符号。下面谈谈空间群符号的规定。一维空间群的符号对于一维情况，因为点阵形式只有一种，总共只有2种空间群，故它的符号没有什么特殊规定。二维空间群的符号首先写出平移对称性(即点阵或格子)的类型。格子类型符号后的第一个位置为该对称性所具有的最高轴次。格子类型符号后的第二个位置均为和a垂直的对称面或滑移面。即，对于那些只有一个对称面或滑移面的排列，在选择坐标轴时将a选择为和对称面或滑移面垂直的方向。对不同的格子，格子类型符号后的第三个位置所写的对称面或滑移面所垂直的方向并不同：对矩形格子，为b方向；对正方形格子，为a+b方向；对三角形格子，为2a+b方向。如果某个方向没有对称面或滑移面，可以在该位置上写上1，比如空间群p31m和p3m1。格子类型空间群编号空间群符号(完整)空间群符号(简略)斜形1p1p12p2p2矩形3p1m1pm4p1g1pg5c1m1cm6p2mmp2mm7p2mgp2mg8p2ggp2gg9c2mmc2mm正方10p4p411p4mmp4mm12p4gmp4gm三角形13p3p314p3m1p3m115p31mp31m16p6p617p6mmp6mm排列对称性(格子+轴+面)空间群(符号的表示方法)