注册工程师公共基础公式总结

注册化工工程师基础考试公共基础考试公式总结1、高等数学1.1空间解析几何（1）数量积𝐚∙𝐛=|𝑎||𝑏|𝑐𝑜𝑠𝜃矢量积𝐚×𝐛=|𝑎||𝑏|𝑠𝑖𝑛𝜃（2）两平面的夹角(指锐角)cosθ=|𝒏𝟏∙𝒏𝟐||𝑛1||𝑛2|=|𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2+𝐶1𝐶2|√𝐴12+𝐵12+𝐶12√𝐴22+𝐵22+𝐶22（3）点到平面的距离d=|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0|√𝐴2+𝐵2+𝐶2（4）两直线的夹角cosθ=|𝒔𝟏∙𝒔𝟐||𝑠1||𝑠2|（5）直线与平面的夹角d=|𝐴𝑚+𝐵𝑛+𝐶𝑝|√𝐴2+𝐵2+𝐶2√𝑚2+𝑛2+𝑝2（6）旋转曲面，母线（f（y，z）=0）绕那个轴（如z轴）转，哪个轴的字母不动，另一个字母（y）换成不含该字母的根号下另两字母平方和（换为（x2+y2）*0.5）。圆锥面𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒂𝟐=𝒛𝟐抛物面𝒙𝟐𝒂𝟐±𝒚𝟐𝒃𝟐=±𝒛单叶双曲面𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐−𝒛𝟐𝒄𝟐=𝟏双叶双曲面𝒙𝟐𝒂𝟐−𝒚𝟐𝒃𝟐−𝒛𝟐𝒄𝟐=𝟏某空间曲线向某个面进行投影，曲面与平面的交线向某个面投影应当消去该投影面不含有的字母。（7）空间曲线的切线方程与法面方程（以参数方程的形式表示）𝑥−𝑥0𝜑𝑡0′=𝑦−𝑦0𝜃𝑡0′=𝑧−𝑧0𝜌𝑡0′1.2函数与极限（1）两个重要极限limx→0𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥=1lim𝑥→∞(1+1𝑥)𝑥=𝑒定理：有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。等价无穷小（x→0，x~sinx~tanx,1-cosx~0.5x2,ex-1~x,ln(1+x)~x,(1+x)^(1/n)~1-(1/n)x）,洛必达法则求极限。（2）函数1’函数在x点左右极限存在且相等是其在该点连续的必要条件。（可去间断点）。2’二元函数在某点可微，则函数在该点连续，极限存在，关于变量的导数均存在，但在该点关于变量的导数不一定连续。3’零点定理。1.3导数（1）基本求导公式𝑡𝑎𝑛𝑥′=𝑠𝑒𝑐𝑥2𝑐𝑜𝑡𝑥′=−𝑐𝑠𝑐𝑥2𝑠𝑒𝑐𝑥′=𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥′=−𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥′=1√1−𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥′=−1√1−𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥′=11+𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥′=−11+𝑥2（2）复合函数求导法则（设y=f(u),u=g(x)均可导）𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢∙𝑑𝑔𝑑𝑥𝑦′=𝑓(𝑢)′𝑔(𝑥)′（3）中值定理与导数的应用1’罗尔定理闭区间连续，开区间可导，且始末两点函数值相等，在该区间至少存在一点，使得f（o）’=0.2’拉格朗日定理[a,b]闭区间连续，(a,b)开区间可导，使得f(b)−f(a)=f(ξ)′(𝑏−𝑎)（4）多元函数求导法则f′=𝜕𝑧𝜕𝑥+𝜕𝑧𝜕𝑦1.3积分学（1）牛顿-莱布尼茨公式𝑑𝑑𝑥∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑔(𝑥)𝑎=𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔(𝑥)′定积分计算公式∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎=𝐹(𝑥)|𝑏𝑎=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)（2）积分计算公式（较特殊的）∫𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥=−𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑥|+𝐶∫𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥=𝑙𝑛|𝑠𝑖𝑛𝑥|+𝐶（3）华莱士公式∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑛𝜋20𝑑𝑥=∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑛𝜋20𝑑𝑥={(𝑛−1)‼𝑛‼,𝑛为大于1的正奇数(𝑛−1)‼𝑛‼∙𝜋2，𝑛为正偶数（4）分部积分法∫𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥)=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)−∫𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥)（5）定积分的应用1’平面图形的面积S=∫(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥𝑏𝑎𝑆=12∫[𝜑(𝜃)]2𝑑𝜃𝑏𝑎2’旋转体的体积V=π∫[𝑓(𝑥)]2𝑏𝑎𝑑𝑥(曲线绕𝑥轴旋转)3’弧长公式s=∫√1+𝑦′2𝑏𝑎𝑑𝑥s=∫√𝜓(𝑡)′2+𝜑(𝑡)′2𝑏𝑎𝑑𝑡s=∫√𝜌(𝜃)2+𝜌(𝜃)′2𝑏𝑎𝑑𝜃（6）二重积分的计算方法1’先谁后谁，看谁是常数，好计算；（x，y为参数）2’积分区域关于哪个轴对称，看被积函数关于另外一个变量的奇偶性，若是奇函数，定积分值为零，若是偶函数，定积分数值可对称翻倍。3’二重积分极坐标计算方法∬𝑓(𝑥,𝑦)𝐷𝑑𝑥𝑑𝑦=∬𝑓(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃,𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃)𝐷𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃（7）曲面薄片面积的计算A=∬√1+(𝜕𝑧𝜕𝑥)2+(𝜕𝑧𝜕𝑦)2𝐷𝑑𝑥𝑑𝑦（8）三重积分的计算方法1’柱面坐标计算方法∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)Ω𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=∭𝐹(𝜌,𝜃,𝑧)Ω𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝑧其中,f(x,y,z)=F(ρcosθ,ρsinθ,z)2’球面坐标计算方法∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)Ω𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=∭𝑓(𝜌,𝜃,𝜑)Ω𝜌2𝑠𝑖𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃其中,f(x,y,z)=F(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)（9）曲线积分1’第一类曲线积分用于对弧长的曲线积分，物理意义可理解为求线密度为f（x，y）的曲线弧L的质量，即：M=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝐿𝑑𝑠(𝑑𝑠=√1+𝑦′2𝑑𝑥,s=√𝜓(𝑡)′2+𝜑(𝑡)′2𝑑𝑡)2’第二类曲线积分对坐标的曲线积分，物理意义为变力f(P(x,y),Q(x,y))沿曲线弧L所作的功。∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝐿=∫[𝑃(𝜑(𝑡),𝜓(𝑡))𝜑(𝑡)′+𝑄(𝜑(𝑡),𝜓(𝑡))𝜓(𝑡)′]𝐿𝑑𝑡1.4常微分方程（1）一阶线性方程y′+𝑃(𝑥)𝑦=𝑄(𝑥)通解𝑦=𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥∫𝑄(𝑥)𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥dx+C（2）全微分方程𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0,有解条件𝜕𝑃𝜕𝑦=𝜕𝑄𝜕𝑥该全微分方程的通解为（沿路径求取积分函数）：𝑢(𝑥,𝑦)≡∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑥𝑥0+∫𝑄(𝑥0,𝑦)𝑑𝑦𝑦𝑦0=𝐶（3）线性微分方程解的结构两个线性无关的特解乘以任意常数作和为该方程的通解；线性方程的特解加上该线性方程对应的齐次方程的通解为此线性方程的通解；（4）二阶常系数齐次线性微分方程的解𝑦+𝑝𝑦′+𝑞𝑦=0(𝑟2+𝑝𝑟+𝑞=0)不等实根的通解y=𝐶1𝑒𝑟1𝑥+𝐶2𝑒𝑟2𝑥,相等实根的通解y=𝐶1𝑒𝑟𝑥+𝐶2𝑥𝑒𝑟𝑥,一对共轭复根（𝑟1,2=α±iβ）的通解y=𝑒𝛼𝑥(𝐶1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+𝐶2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥)1.5级数（1）基本概念正项级数部分和数列有界是级数收敛的充要条件；一般非正项级数，其部分和数列有界是级数收敛的必要条件；（2）常用幂级数泰勒展开式11−𝑥=1+𝑥+𝑥2+𝑥3+⋯=∑𝑥𝑛∞𝑛=011+𝑥=1−𝑥+𝑥2−𝑥3+⋯=∑(−1)𝑛𝑥𝑛∞𝑛=0（3）幂级数所具有的性质幂级数的和函数在其收敛域上连续，且可导，并满足逐项求导，逐项积分。S(x)′=(∑𝑎𝑛𝑥𝑛∞𝑛=0)′=∑𝑎𝑛𝑥𝑛′∞𝑛=0=∑𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛−1∞𝑛=0∫𝑆(𝑥)𝑥0𝑑𝑥=∫∑𝑎𝑛𝑥𝑛∞𝑛=0𝑥0𝑑𝑥=∑𝑎𝑛𝑛+1𝑥𝑛+1∞𝑛=02、线性代数2.1矩阵的基本性质（1）矩阵的行秩与列秩必相等（2）满秩矩阵的行列式值非零，否则为0（3）2.2向量组的相关性（1）若存在不全为零的数k1，k2，k3，k4…，使得𝑘1𝜶𝟏+𝑘2𝜶𝟐+𝑘3𝜶𝟑+⋯+𝑘𝑚𝜶𝒎=𝟎那么上述向量组线性相关。2.3矩阵特征值的性质（1）所有特征值的和等于矩阵主对角在线元素的和（2）所有特征值的积等于矩阵行列式的值3、概率与数理统计3.1概率公式（1）加法公式P(A+B)=P(𝐴)+P(B)−P(AB)当A,B互不相容时（A与B不可能同时发生），P(A+B)=P(𝐴)+P(B)（2）乘法公式P(AB)=P(𝐴)P(𝐵|𝐴)=P(B)P(𝐴|𝐵)当A,B独立时（A与B是否发生相互不影响），P(AB)=P(A)P(B)（3）减法公式（A发生，B不发生）P(A−B)=P(𝐴)−P(AB)（4）“取”的公式（求概率时用）𝐶𝑛𝑚=(𝑛−𝑚+1)!𝑚!3.2均值与方差（1）均值的算法与性质E(X)=∫𝑥𝑝(𝑥)+∞−∞𝑑𝑥若Y=f(X),那么其数学期望为=∫𝑦𝑝(𝑥)+∞−∞𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)+∞−∞𝑑𝑥数学期望变量前面的系数可以乘到前面来（2）常用随机变量的数字特征1.X服从参数p的二点分布E(X)=p;D(X)=p(1-p)2.X服从参数n,p的二项分布E(X)=np;D(X)=np(1-p)3.X服从参数λ的泊松分布E(X)=λ;D(X)=λ4.X服从参数a，b的均匀分布E(X)=（a+b）/2;D(X)=(b-a)2/125.X服从参数λ的指数分布E(X)=1/λ;D(X)=1/λ2（3）方差的算法与性质D(𝑋)=𝐸[𝑋−𝐸(𝑋)]2=𝐸(𝑋2)−[𝐸(𝑋)]2方差变量前面的系数平方后可以乘到前面3.3最大似然估计（1）计算似然函数L(θ)，（2）计算似然函数的对数lnL(θ)（3）求第二步得到的函数的导数（4）令第三步得到的函数等于0，求解，若唯一，即为最大似然估计3.4无偏估计若E(𝜃)=𝜃，此即为无偏估计的条件4、物理学4.1气体分子的能量理想气体的平均平动动能为：（沿每个坐标轴的平均平动动能郡相同）kTk23总自由度为i的理想气体分子的平均能量（单原子分子i=3；刚性双原子分子i=5，刚性多原子分子i=6）kTi24.2理想气体的内能E=𝑀𝜇𝑖2𝑅𝑇4.3平均碰撞频率和平均自由程（1）分子的平均碰撞频率（n为分子数密度）（压强的微观意义p=nkT）nvdZ22（2）分子的平均自由程（与分子数密度成反比，与平均速率无关）ndZv2214.4气体分子热运动的三种速率（1）最概然速率𝑣𝑝=√2𝑘𝑇𝑚=√2𝑅𝑇𝜇（2）平均速率mkTv8（3）方均根速率RTmkTv332三个速度的比值为：√2比√8𝜋比√34.5热力学第一定律（Q=E+W）（1）定义：外界传给系统的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外做功。应用此式计算对符号规定如下：系统从外界吸收热量，Q＞0，系统向外界放出热量，Q＜0；系统对外界做功，W大于，外界对系统做功，W＜0。4.6卡诺循环卡诺循环的过程：气体先从状态A沿等温线膨胀做功至状态B，同时从高温热源吸热；然后从状态B绝热膨胀做功至状态C；接着从状态C沿等温线收缩至状态D，同时向低温热源放热，最后从状态D绝热收缩至状态A。4.7波动学（1）波在进行传播的过程中，周期和频率与媒无关（w=2pi/T），波速和媒质有关。（2）一平面简谐波在弹性媒质中传播，当某质元处于平衡位置时，其动能、势能均达到最大；当某质元处于最大位移处，其动能、势能均达到最小。（3）一维简谐波的表达式y=Acos[ω(t−𝑥𝑢)+𝜑]=Acos[2π𝑇(t−𝑥𝑢)+𝜑]=Acos[2π(t𝑇−𝑥𝜆)+𝜑]（4）两相干波源的合振动计算两相干波源的相位差：ΔΦ=Φ2−Φ1−2𝜋(𝑟2−𝑟1)𝜆={2𝑘𝜋,偶数𝜋，合振动𝐴2+𝐴1(2𝑘+1)𝜋,奇数�