矢量微分算子和拉普拉斯算子

矢量微分算子和拉普拉斯算子一、矢量微分算子（一）形式定义：xyzijk我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。（二）用法定义1.铺垫定义:,,,,,,,,,,,,uxyzuxyzxxuxyzuxyzxxuxyzuxyzxxiijjkk，,,,,,,,,,,,,uxyzuxyzxxuxyzuxyzyyuxyzuxyzzz其中,,uxyz是标量函数，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴方向的单位矢量。2.跟标量函数,,uxyz相乘uuuuuuuuxyzxyzxyzijkijkijk我们看到这跟普通矢量与标量的乘法形式上一样。3.跟矢量,,,,,,PxyzQxyzRxyzAijk点乘,,,,,,,,,,,,PxyzQxyzRxyzxyzPQRPxyzQxyzRxyzxyzxyzAijkijk我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的点乘的定义形式上一样。4.跟矢量,,,,,,PxyzQxyzRxyzAijk叉乘,,,,,,PxyzQxyzRxyzxyzRQPRQPxyzyzzxxyPQRA=ijkijkijkijk我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的叉乘的定义形式上一样。（三）按照以上定义，我们容易得出：1.根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数,,uxyz的梯度，即graduu2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数,,,,,,PxyzQxyzRxyzAijk的散度，即divAA3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数,,,,,,PxyzQxyzRxyzAijk的旋度，即rotAA二、拉普拉斯算子（一）形式定义：2222222xyzxyzxxyyzzxyzijkijk我们发现拉普拉斯算子在形式上是个标量。（二）用法定义：1.铺垫定义:222222222222,,,,,,,,,,,,uxyzuxyzxxuxyzuxyzyyuxyzuxyzzz2.跟标量函数,,uxyz相乘2222222222222222222uuuuuxyzxyzuuuxyz我们发现这个定义形式跟普通标量与标量的相乘形式上满足的相似的规律（分配律）3.跟矢量函数,,,,,,PxyzQxyzRxyzAijk数乘222222222222222222222222222222222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PxyzQxyzRxyzxyzPxyzQxyzxyzxyzRxyzxyzPxyzPxyzPxyzxyzQxyxA=ijkij+k=i222222222222222222222222222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,zQxyzQxyzyzRxyzRxyzRxyzxyzPxyzPxyzPxyzxyzQxyzQxyzQxyzxyzRxyzRxyzRxyzxyj+kij+2zk我们发现这个定义形式跟普通标量与矢量的相乘形式上满足相似的规律（三）注意1.2uu2222222222222uuzuuxyzxyy222222uuuuuuuxyzxyzxyzuuuyuuuuuuxzxxyyzzxyzxyzijkijkijk所以得证。2.2AA且2=AAA,,,,,,PxyzQxyzRxyzxyzPQRPQRxyzxyzAijkijkPQRxyzxyzPQRPQRPQRxxyzyxyzzxyzPQRPQRPQRxyzxyzxyzxyzAijkijkijk=222222222222PQRPQRPQRxyxzxxyyzyxzyzz++i++j++k2222222222222222222PPPQQQxyzxyzRRRxyzA=ij+k所以，不相等。3.2AAA22221QPPRxyzyxyzzxRQPRQPyzzxxyQPRQPRRQxxyzyzxzxyyzQPxyyijkAi+jk2222222222222222222222222222222PRPQRQPRRQ++zxzyxxyzzzxxyzyPQRPQRPQR++xxyxzyxyyzzxzyzPPxyijk=ijk222222222222222222222222222222222+PQQQRRRzxyzxyzPQRPQRPQR++xyxzxxyyzyxzyzzPPPQxyzxi+jkijki+2222222222+QQRRRyzxyzjk=,,,,,,===++PxyzQxyzRxyzxyzPQRPQRxyzxyzxyzPQRPQRPxxyzyxyzzxAijkijkijkijk222222222222=+=++QRyzPQRPQRPQRxyzxyzxyzxyzPQRPQRPQRxyxzxxyyzyxzyzzij+kijk222222222222222222222222222222222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PxyzQxyzRxyzxyzPxyzQxyzRxyzxyzxyzxyzPxyzPxyzPxyzxyzQxyxA=ijkij+k=i2222222222222222222222222222,,,,,,,,,,,zQxyzQxyzyzRxyzRxyzRxyzxyzPPPQQQRRRxyzxyzxyzj+ki+j+k