高三二轮复习三角函数课件

专题二三角函数、解三角形、平面向量三角恒等变换与解三角形第二讲三角恒等变换及求值一、基础知识要记牢三角恒等变换主要形式是三角函数式的求值．包括：(1)“给角求值”，即通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．二、经典例题领悟好[例1](2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.[解](1)因为f(x)＝2cosx－π12，所以f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝2×22＝1.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×35×－45＝－2425.所以f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝2×22cos2θ－22sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.三角函数恒等变换“六策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦；(5)公式的变形应用：如sinα＝cosαtanα，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)等；(6)角的合成及三角函数名的统一：运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称．三、预测押题不能少1．函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．解：(1)由已知可得f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3.所以函数f(x)的值域为[－23，23]．又由于正三角形ABC的高为23，则BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，解得ω＝π4.(2)因为f(x0)＝835，由(1)得f(x0)＝23sinπx04＋π3＝835，即sinπx04＋π3＝45.由x0∈－103，23得πx04＋π3∈－π2，π2.所以cosπx04＋π3＝1－452＝35，故f(x0＋1)＝23sinπx04＋π4＋π3＝23sinπx04＋π3＋π4＝23sinπx04＋π3cosπ4＋cosπx04＋π3sinπ4＝2345×22＋35×22＝765.正(余)弦定理一、基础知识要记牢(1)正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.二、经典例题领悟好[例2](2013·全国新课标Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.[解](1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74.故PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得3sin150°＝sinαsin30°－α，化简得3cosα＝4sinα.所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.三、预测押题不能少2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC＝2a－c.(1)求B；(2)若△ABC的面积为3，求b的取值范围．解：(1)由正弦定理得2sinBcosC＝2sinA－sinC.∵在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，∴sinC(2cosB－1)＝0.又0Cπ，sinC0，∴cosB＝12，注意到0Bπ，∴B＝π3.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝3，∴ac＝4，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥ac＝4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，∴b的取值范围为[2，＋∞)．解三角形问题是高考命题的重点内容之一，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与三角函数、不等式、平面向量、数列、导数、立体几何和解析几何等知识交汇，成为高考考查的重点和热点．三角函数与解三角形的交汇一、经典例题领悟好[例1](2013·辽宁省五校模拟)设函数f(x)＝cos2x－4π3＋2cos2x.(1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B＋C)＝32，b＋c＝2，求a的最小值．(1)∵f(x)＝cos2x－4π3＋2cos2x＝cos2x＋π3＋1，∴f(x)的最大值为2.f(x)取最大值时，cos2x＋π3＝1,2x＋π3＝2kπ(k∈Z)，故x的集合为x|x＝kπ－π6，k∈Z.(2)由f(B＋C)＝cos2B＋C＋π3＋1＝32，可得cos2A－π3＝12，由A∈(0，π)，可得A＝π3.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc，由b＋c＝2知bc≤b＋c22＝1，当b＝c＝1时bc取最大值，此时a取最小值1.本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质，解三角形和基本不等式等问题.已知fB＋C的值，从而把三角形的问题与解三角形问题结合，而求解本题的关键：一是正确化简出fx＝cos2x＋π3＋1；二是利用余弦定理列出a2＝b＋c2－3bc，利用基本不等式求出bc≤1.二、预测押题不能少1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB·AC＝8，∠BAC＝θ，a＝4.(1)求bc的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1的最大值和最小值．解：(1)由已知得AB·AC＝bccosθ＝8，b2＋c2－2bccosθ＝42，故b2＋c2＝32.又b2＋c2≥2bc，所以bc≤16(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，即bc的最大值为16.即8cosθ≤16，所以cosθ≥12.又0θπ，所以0θ≤π3，即θ的取值范围是0，π3.(2)f(θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin2θ＋π6＋1.因为0θ≤π3，所以π62θ＋π6≤5π6，12≤sin2θ＋π6≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f(θ)min＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f(θ)max＝2×1＋1＝3.解三角形与平面几何一、经典例题领悟好[例2]如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙开始从A乘缆车，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m．经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？(1)学审题——审条件之审视结构cosA、cosC的值――――→三角公式sinB的值――――→正弦定理AB的长．(2)学审题——审条件之审视隐含用t表示乙出发的时间――――→余弦定理距离d关于时间t的函数――――→函数性质t的值．(3)学审题——审条件之审视隐含正弦定理―→BC的长―→计算乙从B出发时甲走的距离――――――――→用v表示乙的速度列出关于v的不等关系―→求出v的范围．用“思想”——尝试用“函数建模思想”解题(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在12506254314，(单位：m/min)范围内．1本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可.2三角形问题求解中函数建模思想的常见类型：①利用余弦定理转化为长度关于某一未知数的函数.②由面积公式S△＝12absinC转化为面积S关于角的三角函数的函数.③由正弦定理转化为边的长度关于某一三角形内角的函数.二、预测押题不能少2.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈0，π2，△AOB为正三角形．(1)若点C的坐标为35，45，求cos∠BOC；(2)记f(θ)＝|BC|2，求函数f(θ)的解析式和值域．解：(1)因为点C的坐标为35，45，根据三角函数的定义，得sin∠COA＝45，cos∠COA＝35.因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝60°.所以cos∠BOC＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝35×12－45×32＝3－4310.(2)因为∠AOC＝θ0θπ2，所以∠BOC＝π3＋θ.在△BOC中，|OB|＝|OC