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第一章三角形全等1、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。理解:①全等三角形形状与大小完全相等,与位置无关;②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形,与原三角形仍然全等..;③三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质:⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。理解:①长边对长边,短边对短边;最大角对最大角,最小角对最小角;②对应角的对边为对应边,对应边对的角为对应角。⑵全等三角形的周长相等、面积相等。⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定:①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。④边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等。⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路:⑴已知两边:①找第三边(SSS);②找夹角(SAS);③找是否有直角(HL).⑵已知一边一角:①找一角(AAS或ASA);②找夹边(SAS).⑶已知两角:①找夹边(ASA);②找其它边(AAS).例题评析例1已知:如图,点D、E在BC上,且BD=CE,AD=AE,求证:AB=AC.例2已知:如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证:△ABC≌△DEF.BCDEFAABCDE例3已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:①△BEC≌△DEA;②DF⊥BC.例4如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O.求证:(1)△ABC≌△AED;(2)OB=OE.例5如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°,求∠EFD的度数.例6如图,将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)试找出一个三角形与△AED全等,并加以证明.(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,PG+PH的值会变化吗?若变化,请说明理由;若不变化,请求出这个值。例7已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是;(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.BCDEFAOCEBDA复习作业:解答题1.(1)如下图,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则∠APB=__________。分析:由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌_____________这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知如右图,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2。2.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABC≌△BAD.求证:(1)OA=OB;(2)AB∥CD.3.如图所示,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB和∠DGB的度数.4.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF.5.已知:如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求证:BC=ED.6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD,CE相交于F.求证:AF平分∠BAC.7.△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,M点在边AC上,且CM=2,过M点作AC的垂线交AB边于E点.动点P从点A出发沿AC边向M点运动,速度为每秒1个单位,当动点P到达M点时,运动停止.连接EP,EC.在此过程中,⑴当t为何值时,△EPC的面积为10?⑵将△EPC沿CP翻折后,点E的对应点为F点,当t为何值时,PF∥EC?8.在△ABC中,∠ABC=90°,分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED,连接GD,AG,BD.⑴如图1,求证:AG=BD.⑵如图2,试说明:S△ABC=S△CDG.(提示:正方形的四条边相等,四个角均为直角)图1图2ACBEMPFACBEMPACBFGEDIHACBFGEDIH《全等三角形》单元测试题姓名班级得分一、填空题(4×10=40分)1、在△ABC中,ACBCAB,且△ABC≌△DEF,则在△DEF中,______>______>_______(填边)。2、已知:△ABC≌△A′B′C′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=70°,AB=15cm,则∠C′=_________,A′B′=__________。3、如图1,△ABD≌△BAC,若AD=BC,则∠BAD的对应角是________。4、如图2,在△ABC和△FED,AD=FC,AB=FE,当添加条件__________时,就可得到△ABC≌△FED。(只需填写一个你认为正确的条件)5、如图3,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,E、F分别为DB、DC的中点,则图中共有全等三角形________对。6、如图4,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD≌△CBE的依据是.7、如图5,△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AE是∠BAC的平分线,点E到AB的距离等于3cm,则CF=cm.8、如图6,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=80°,则∠CED=_____.9、P是∠AOB平分线上一点,CD⊥OP于F,并分别交OA、OB于CD,则CD_____P点到∠AOB两边距离之和。(填“”,“”或“=”)10、AD是△ABC的边BC上的中线,AB=12,AC=8,则中线AD的取值范围是二、选择题:(每小题5分,共30分)11、下列命题中:⑴形状相同的两个三角形是全等形;⑵在两个三角形中,相等的角是对应角,相等的边是对应边;⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,其中真命题的个数有()A、3个B、2个C、1个D、0个12、如图7,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上,ADECB图4ABCDE图1图2图3图5图6DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则有()A、△ABD≌△AFDB、△AFE≌△ADCC、△AEF≌△DFCD、△ABC≌△ADE13、下列条件中,不能判定△ABC≌△A′B′C′的是()A、AB=A′B′,∠A=∠A′,AC=A′C′B、AB=A′B′,∠A=∠A′,∠B=∠B′C、AB=A′B′,∠A=∠A′,∠C=∠C′D、∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′14、如图8所示,90EF,BC,AEAF,结论:①EMFN;②CDDN;③FANEAM;④ACNABM△≌△.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个15、全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形,假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形,点A与点A1对应,点B与点B1对应,点C与点C1对应,当沿周界A→B→C→A,及A1→B1→A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形(如图9),若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图10),两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°(如图11),下列各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是()16、如图12,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=64,且BD:CD=9:7,则点D到AB边的距离为()A、18B、32C、28D、24三、解答下列各题:(17-18题各8分,19-22题各10分,23题-24题各12分,共80分)17、如图13,点A、B、C、D在同一条直线上,AB=DC,AE//DF,AE=DF,求证:EC=FB18、如图14,AE是∠BAC的平分线,AB=AC。⑴若点D是AE上任意一点,则△ABD≌△ACD;⑵若点D是AE反向延长线上一点,结论还成立吗?试说明你的猜想。ACDB图12ECBDFA图7图8图1319、如图15,在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内,到铁路到公路的距离相等,且离铁路与公路交叉处B点700米,如果你是红方的指挥员,请你在图16所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置,并简要说明画法和理由。20、如图17,A、B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过D作DE∥AB,使E、C、A在同一直线上,则DE的长就是A、B之间的距离,请你说明道理。BACDEAB图14图16图15图1721、如图18,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是282cm,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长。22、如图19,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:EB=FCAEBDCF图18图1923、如图20,AB=CD,AD=CB,求证:∠B=∠D24、如图21,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF⑴求证:BG=CF⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由。EDCBA图20图21
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