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数学建模一周论文课程设计题目：投资规划问题姓名1：孙荣基学号：201220100119姓名2：黎晶学号：201220100129姓名3：王淮学号：201220100102专业：化学工程与工艺班级:1221001指导教师:周其华2014年6月27日1摘要目前，证券在我国得到了迅速健康的发展，并且为我国的经济发展作出了很大贡献。本文针对目前流行的各种不同的证券发行方案，建立线性规划模型，得出最佳的证券组合投资方案。问题一中假设该经理有1000万资金可以进行投资支配，在满足题目给出的各限制范围内，以最大收益为目标函数，建立三个线性规划模型，分别为冒险模型、保守模型和一个折中模型，但是前两个不符合题目给出的约束条件，综合考虑，应选用折中模型，用Lingo求解得出了最大收益为29.83636万元，各种证券的投资方案见表二。问题二中假设能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在相同的约束条件下，仍然建立线性规划模型，采用Lingo求解，得出最大收益为32.82000万元，投资方案见表五。问题三中在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，仍然建立线性规划模型，通过Lingo解得最大收益相对问题一中增加了，为30.27273万元，投资方案见表六；若证券C的税前收益减少为4.8%，用同样的方法求出最大收益相对问题一中减少了，为29.42400万元，投资方案见表七。关键字：证券投资、线性规划、Lingo求解软件、投资风险2问题重述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）所购证券的平均到期年限不超过5年表一证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？模型假设1.假设在有价证券到期前，该经理不会中断投资。2.假设在投资过程中，可供购买的各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益固定不变，以及其纳税税率不变。3.假设借款利率在证券到期前没有波动。4.信用等级可以视为风险的一种情况。符号说明mi:第i种证券的投资金额（i=1~5）；si:第i种证券的到期税前收益（%）（i=1~5）；xi:第i种证券的信用等级（i=1~5）;yi：第i种证券的到期年限（i=1~5）；ti:第i种证券需交纳的税率（%）（i=1~5）；Z：证券到期时获得的总收益；（证券A、B、C、D、E分别用编号①~⑤）3问题分析仔细考虑问题的要求和条件，这是一类考虑因素较简单，算法要求较低的问题，具体表现在两方面：一是考虑因素简单。在进行证券投资决策时，只需考虑各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益、纳税税率，合理组合证券投资，来求出目标函数的最优解。二是算法要求较低。由于考虑因素较多，变量也多，明显不方便用人工计算，但是可以将模型输入相关软件直接求解，算法较简单。问题一中给出了总资金1000万元，由于投资受到各种证券不同的信用等级、到期年限、到期税前收益的影响，投资者需要合理地进行投资。证券交易的最终目标是取得最大收益，但在进行证券交易时，也存在着较大的风险。为了更好地了解其中的风险，我们提供了三种方法，即折中法、冒险法和保守法。采用何种方法取决于决策者对待风险的态度。我们知道，一个投资项目的风险和其投资对象的信用等级有密切关系。首先，考虑所购证券的平均信用等级必须不超过1.4，所购证券的平均到期年限不超过5年，除此之外，还要在满足其他约束条件的前提下，建立相应的模型解出最大收益，这是折中法。其次，在不考虑信用等级的影响下，其他约束条件不变，得出的最大收益，这是冒险法。最后，针对风险厌恶者，运用保守法建立风险最小的最大收益模型，即当所购证券的平均信用等级最小时，其他约束条件不改变所得的线性模型。问题二中的解决方法与问题一相同，只是在本问题中能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，所以相当于可用资金增加了，这时在问题一的收益基础上，还要偿还投资期间所累积的利息。当增加的收益大于所要偿还的利息时，则收益增加。问题三中在有1000万元资金情况下，证券A的税前收益变为4.5%，其他数据没有改变，所用模型和解题思路与问题一相同。同样的，当证券C的税前收益减少为4.8%时，解题思路同上。基于以上分析，都是建立线性规划模型，使用Lingo软件运行结果。模型的建立与求解1问题一的求解（1）该经理拥有1000万资金用来本次投资，在以上的约束条件下求出最大收益。在符合约束条件的情况下，投资方案有很多种，应该从中选出收益最大的方案。在这些证券种类当中，信用等级、到期年限、税前收益不尽相同：x1~x5对应证券A~E的信用等级，y1~y5对应证券A~E的到期年限，s1~s5对应证券A~E4的税前收益，具体数据见表一。由已知条件可以建立折中模型：目标函数max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件m1+m2+m3+m4+m5=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;m2+m3+m4=400;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;用Lingo软件进行求解可以得到m1=218.1818,m2=0,m3=736.3636,m4=0,m5=45.45455,总收益Z=29.83636。在以上结果中可以确定，在符合约束条件下，投资的最大收益为29.83636万元，证券B和证券D的投资额都为零，证券C的投资额最大，为736.3636万元，证券A为218.1818万元，证券E为45.45455万元。结果如图一和表二。图一表二证券类型M1M2M3M4M5投资数量218.18180.000000736.36360.00000045.45455总收益29.836365由于证券B的到期年限太长，跟约束条件相比相差太远，经过计算该证券的投资为零，而证券D的税前收益太低，而且要缴纳百分之五十的税率，税前的收益率是这几个证券中较低的，为了获得最大收益，因此证券D的投资额为零，证券C的信用较好，到期年限也不长，税前收益也较高，所以投资该证券的金额较高。（2）考虑到部分投资者比较厌恶风险，他们比较看重信用，保守投资。那么，我们就可以建立一个风险最低的模型，即在求出风险最低的方案的前提下才进行投资，这时平均信用等级的约束条件变为求最低平均信用等级。风险模型如下：目标函数Z=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件min=(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)m1+m2+m3+m4+m5=1000;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;m2+m3+m4=400;在此模型中，使用Lingo软件可以求出m1=0，m2=0，m3=536.49，m4=463.51，m5=0，总收益Z=23.60947，经理只是投资了C证券和D证券，因为在这么多证券中，这两个证券的信用程度最高，这样才符合这个模型的根本目标。该模型结果如图二和表三：图二6表三证券类型M1M2M3M4M5投资数量（万元）0.0000000.000000536.4900463.51000.000000总收益（万元）23.60947（3）然而少数投资者敢于冒险，他们投资时不考虑各种证券的信用等级高低而只在乎是否获得最大收益，因此在忽略平均信用等级≤1.4的条件下我们可以建立一个收益最大模型：目标函数max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;约束条件m1+m2+m3+m4+m5=1000;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;m2+m3+m4=400;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0使用Lingo软件可以解得：m1=0，m2=200，m3=200，m4=0，m5=600，总收益Z=37.4，在一定的约束条件下，B、C两种证券分别都投资了200万元，由于E证券到期税前收益率较高且可以免税，在投资额相同的情况下收益是最高的，则为了获得最大的收益就把剩下的600万元都投给了E证券也是合理的。结果见图三和表四：图三7表四证券类型M1M2M3M4M5投资数量（万元）0.000000200.0000200.00000.000000600.0000总收益（万元）37.40000在本问题当中需要考虑题目中所给的约束条件：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。在以上三个模型当中，只有第一个模型符合题目的约束条件，这个模型相对来说比较合理，所以折中模型比较适合本问题的求解，综合考虑，第一个模型的结果就是本问题的最优解。2问题二的求解这个问题的解题方法与问题一的解题方法相似，使用折中法进行求解。该问题中，经理可以以2.75%的利率接到不超过100万元的资金，极限地假设经理借了一百万元，则经理的可用资金就是1100万元，用这些资金在符合约束条件下进行投资，我们可以建立一个最优解的数学模型：目标函数Max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件m1+m2+m3+m4+m5=1100;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;m2+m3+m4=400;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;使用Lingo软件进行求解得到：m1=240，m2=0，m3=810，m4=0，m5=50，总收益Z=32.82，可以看出在增加100万元的前提下，投资后的总收益比问题一增加了2.98364万元，而借贷需要偿还的利息为2.75万元，即借贷后所获得的最后收益有所增加，所以可以确定该经理应该借这100万元。结果如图四和表五所示：8图四表五证券类型M1M2M3M4M5投资数量2400.0000008100.00000050总收益32.820003问题三的求解这个问题的求解方法与问题一得求解方法相同，第一小问只是证券A的税前收益增加到4.5%，其他的约束条件不变，现只需要建立一个折中模型：目标函数max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件m1+m2+m3+m4+m5=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;m2+m3+m4=400;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;