函数的单调性与最值考点和题型归纳

函数的单调性与最值考点和题型归纳一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1x2(x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(6)函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一确定函数的单调性区间)[典例](1)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．(2)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解](1)易知f(x)＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，则f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1.由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．法二：导数法f′(x)＝ax′x－1－axx－1′x－12＝ax－1－axx－12＝－ax－12.当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．[解题技法]判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝1x－xD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选C由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)解析：选D令t＝x2－4，则y＝log12t.因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f(x)＝x＋ax(a0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝x1－x2x1x2(x1x2－a)．当0x1x2≤a时，0x1x2a，x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；当a≤x1x2时，x1x2a，x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a0)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．考点二求函数的值域最值)[典例](1)(2019•深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．(2)若函数f(x)＝－ax＋b(a0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________.(3)函数f(x)＝－x2－4x，x≤0，sinx，x0的最大值为________．[解析](1)图象法函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x2，2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．(2)单调性法∵f(x)＝－ax＋b(a0)在12，2上是增函数，∴f(x)min＝f12＝12，f(x)max＝f(2)＝2.即－2a＋b＝12，－a2＋b＝2，解得a＝1，b＝52.(3)当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x0时，f(x)＝sinx，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.[答案](1)[3，＋∞)(2)152(3)4[提醒](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f(x)＝x2＋4x的值域为________．解析：当x0时，f(x)＝x＋4x≥4，当且仅当x＝2时取等号；当x0时，－x＋－4x≥4，即f(x)＝x＋4x≤－4，当且仅当x＝－2取等号，所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x∈－π6，2π3，则函数y＝4sin2x－12sinx－1的最大值为________，最小值为________．解析：令t＝sinx，因为x∈－π6，2π3，所以t∈－12，1，y＝f(t)＝4t2－12t－1，因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝32，所以当t∈－12，1时，函数f(t)单调递减，所以当t＝－12时，ymax＝6；当t＝1时，ymin＝－9.答案：6－93．已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)，且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立等价于x2＋2x＋a0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，∴(－x2－2x)max＝－3，故a－3，又∵a≤1，∴－3a≤1.答案：(－3,1]考点三函数单调性的应用考法(一)比较函数值的大小[典例]设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)f(－3)f(－2)B．f(π)f(－2)f(－3)C．f(π)f(－3)f(－2)D．f(π)f(－2)f(－3)[解析]因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．所以f(π)f(3)f(2)，即f(π)f(－3)f(－2)．[答案]A[解题技法]比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二)解函数不等式[典例]设函数f(x)＝2x，x2，x2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2,6]D．[2，＋∞)[解析]易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．[答案]B[解题技法]求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x))．考法(三)利用单调性求参数的范围(或值)[典例](2019•南京调研)已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[解析]设1x1x2，∴x1x21.∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－x2－ax2＋a2＝(x1－x2)1＋ax1x20.∵x1－x20，∴1＋ax1x20，即a－x1x2.∵1x1x2，x1x21，∴－x1x2－1，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．[答案][－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac解析：选D由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f－12＝f52.当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以bac.2．已知函数f(x)＝ax2－x－14