数列的不动点和蛛网图的应用(1)

实数数列的不动点和蛛网图2019.11浙江省诸暨市百泰教育杨岸杰一、数列的不动点和蛛网图有关的题目，前几年也经常见到；二、2019年浙江卷的第10题，使得这类题目成为超级热点；四、老师中的“挺蛛派”与“反蛛派”各抒己见、争论激烈；三、同类试题层出不穷，2020届学生顿时陷入“蛛网”之中；数列的“不动点”以及“蛛网图”到底是什么东东？具体又怎么使用？我们来个“白话版”的解释。浙江诸暨杨岸杰第一讲实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.,,nnaanN21如：,nnayax1把当作把当做;yx22、数列的迭代：,.nnaaanN211已知2,根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.yx2特征函数：.yx前一次计算时的,是后一次计算的3、数列的不动点：,,.{}.nnnaaaanNaa2111例1.已知若是常数数列,求的值nnnaaa21解：nnaa0或1a10或1nnnaanNa1满足，的的数值.(1)数列的“不动点”其实不是点,而是数值；,nnayax1得到的函数aaaaaa221232243416256.naa1(2)若不动点,则数列是常数数列,不动点浙江诸暨杨岸杰二、进一步分析:|nnnnNaaa1满足，的的数值，叫数列的“不动点”；任何实数数列都有不动点吗？nnaa218nannaa280na无实数解.{},{}nnnnaaaaabab211例2已知数列满足.若数列有不动点,则实数的取值范围是.(1)数列角度:nnnnaaaab121nnaba2nnaab20b140b14(2)函数角度:yxyxb2有解xbx2xxb20b140b14(3)函数图像的角度:{}nayx数列有不动点生成函数的图①像与直线有交点；yx生成函数图像与直线的交点的横（纵）坐标②不动点.浙江诸暨杨岸杰*(){},,,.,.,.,.,nnnaaaaabnNAbaRaBbaRaCbaRaDbaRa21110101010例3、2019浙江10改编已知数列满足则()11当时,10恒成立当时,10恒成立24当2时,10恒成立当4时,10恒成立解：1{}4nba(1)当时，数列有不动点,nnnnaabyxbaayx2211即，有实数解；()2图像角度：214byxbyx当时,抛物线与直线有交点；()x03不动点的数值：Bb1①中，4xxx2011由得：42Cb②中2，xxx20由2得：1或2Db③中4，xxx20117由4得：2,nBaaa11011选项中,取,则10不成立；22,CD同理可排除.实际不用算,看图判断出:不动点10即可.浙江诸暨杨岸杰问题:,?nnbaaaa2111011当,即时，无论取何值10为什么恒成立221、观察抛物线和直线的位置关系：()yxyx21211函数角度：恒成立；2()nnnaaa2112数列角度：恒成立；2{}na严格单调递增a102、如何保证10呢？aa2211212()a23113224()a2431174216a5321a61142a74a816aa1081610浙江诸暨杨岸杰三、不动点的分类.,.{}.nnnaaaanNa11例4已知，21讨论的单调性()a1解：1当1时，na1，{}na为常数数列；()a12当1时，na用归纳法或同号法，可证明:1nnnaaa110{}na递增a1如2时，,,,,235917naxn0与不动点1的差,随增大而增大.()a13当1时，{}nnaa同理可证1，且递减a1如0时，,,,,0137naxn0与不动点1的差,也随增大而增大.nana1总之,当1时,随着增大,逐渐“远离”不动点.这种不动点，叫“排斥不动点”.浙江诸暨杨岸杰()a1解：1当1时，{}na为常数数列；na1，()a12当1时，a1如2时，,,,,35917224816,nnax0数列递减，随增大向不动点1逐渐“靠拢”；()a13当1时，a1如0时，,,,,13715024816,nnax0数列递增，随增大向不动点1逐渐“靠拢”；这种不动点，叫“吸引不动点”..,.{}.nnnaaaanNa1111例5已知，讨论的单调性22总之，不动点可分为等，具体的判定方法和应用，我们“排斥不动点”、“吸引不动点”下节课会结合“蛛网图”讨论.浙江诸暨杨岸杰小结2、数列的“生成函数”：1、数列的迭代运算：3、数列的不动点：,nnayax1得到的函数逐个代入，计算各项的过程.nnaa121的生成函数是：,nnaaa11如：121a11a23a37.yx前一次计算时的,是后一次计算的(1)数列本身的角度：{}na数列有不动点①②不动点=a1不①当动点时，②不动点分成：.吸引不动点，排斥不等点等yx生成函数的图像与直线有交点；|nnnaanNa1满足，的的数值，叫数列的“不动点”；(2)生成函数图像的角度：yx生成函数图像与直线的交点的横(纵)坐标.{}.na为常数数列蛛网图的原理！浙江诸暨杨岸杰1011111111.(2019.1110){}21().(1){}(2)2,,1(3)11();()1;()1()122nnnnnnaaanNaxanNaaaaabacada温州一模改编已知数列满足，则：数列的生成函数为；不动点为；判断命题“若则对任意都有”的真假;请根据的不同取值，分析不等点的排斥和吸引情况:练习浙江诸暨杨岸杰第一课到此结束,谢谢大家观看！浙江诸暨杨岸杰第二讲“蛛网图”的来历和本质迭代计算是一个代数运算的过程；.,.{}.nnnaaaanNa11上节课例4已知，21讨论的单调性a1当2时,aa21213aa32215aa43219yx前一步的，是后一步的“蛛网图”是把迭代过程几何(图象)化处理.一、“蛛网图”的来历和本质浙江诸暨杨岸杰,,,,a12时，235917,,,,a10时，0137,.{}.nnnaaaanNa11已知，21讨论的单调性浙江诸暨杨岸杰xy刚才是在轴、轴上转换的.lyx我们也可以通过辅助线:进行转换.:lyx蛛网图:利用数列的生成函数图像,以及辅助线，对迭代过程进行图象化处理.代数迭代过程yx前一个后一个lyx辅助线:蛛网图DaddyMummyBabyyx(1)画出生成函数图像和直线；1212,(,)axayaa(2)当，当在生成函数图像上画出点；22(,)yxaa(3)向直线作水平线，得交点；23(,)aa(4)向生成函数图像作铅垂线线，得交点，浙江诸暨杨岸杰二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.()nnafax10对于型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：()()fxfx0(1)若1，则该不动点为“吸引不动点”；(其中不恒等于0)()fx0(2)若1，则该不动点为“排斥不动点”；()()fx03若1，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.浙江诸暨杨岸杰(),fx01、1吸引不动点图11图12(),,fxaaaa2121定理:当0时,若则数列递增;若则数列递减.(){}{}.kkfxaa212定理:当0时,与单调性相反.每次都“吸引过头”浙江诸暨杨岸杰(),fx02、1排斥不动点(),,fxaaaa2121定理:当0时,若则数列递增;若则数列递减.浙江诸暨杨岸杰左侧吸引，右侧排斥()fxx左侧排斥，右侧吸引()fx03、1时()fxx，数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关！,;,.nnnnaanNaanN11数列单调递增：数列严格单调递增：浙江诸暨杨岸杰():():()fxfxfx0001排斥不动点相交型不动点：1吸引不动点相切型不动点：1时，上增下减小结一、不动点的分类二、蛛网图的原理yx借助于直线，把递推数列的迭代过程，用图像表示出来.优点：代数问题几何化，形象、直观；缺点：不能替代大题目的代数证明.浙江诸暨杨岸杰1011111111.(2019.1110){}21().(1){}(2)2,,1(3)11();()1;()1()122nnnnnnaaanNaxanNaaaaabacada温州一模改编已知数列满足，则：数列的生成函数为；不动点为；判断命题“若则对任意都有”的真假;请根据的不同取值，分析不等点的排斥和吸引情况:第一讲练习答案0(1)211;yxx答案：，(2)真命题；1112a时排斥，数列递减；111,naa时，常数数列；121(3),0,2aa时没有后面的项；11a时吸引，数列递减.浙江诸暨杨岸杰第二课到此结束,谢谢大家观看！浙江诸暨杨岸杰“不动点”“蛛网图”第三讲和的应用（一）应用1、判定数列的单调性和极限1a应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围1nnakab应用4、判定与的大小关系应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围浙江诸暨杨岸杰应用1、判定数列的单调性和极限11131.{}21.=2=4nnnaaanNaa例已知数列满足，分别判断和时数列的单调性；浙江诸暨杨岸杰11112.{}e.11nannaanNaa例已知数列满足，分别判断和时数列的单调性；浙江诸暨杨岸杰11113(2019.1191[,),sin,.3222019(1);(4),.2020nnnaaanNanN例月高中联盟期中改编)已知判定数列单调性判断是否恒成立00(1);(4)(4)2019.2020nnNnna选项：数列递增选项：极限为1不恒成立，存在，使得时,浙江诸暨杨岸杰1a应用2、已知数列的生成函数和单调性，求的取值范围由例1,例2可知:生成函数确定的情况下,数列的单调性有时还与迭代初始值有关.21111(0921){}(3).4(II)nnnnnaaanNnNaaa例4安徽理首项为正数的数列满足，若对一切，都有，求的取值范围.11(0,1][3,)aa或21()(3)4fxx解：(1)1f(3)3f，浙江诸暨杨岸杰1111{}32.nnnnnaanNaaaa例5(2019.10.浙江十校联考17)已知数列满足，且对任意,有,则的取值范围是21211::2310,,1322xxxxxx解由得不动点132yyxx画出函数及直线的图像111(1)22a时，是吸引不动点，数列递增；111(2)1122a时，吸引、排斥数列递减；13(3)112a时，排斥递增到“高台跳水”；123(4)0.2aa时，112a浙江诸暨杨岸杰2ypxxp解:(1)生成函数为3(2)nSS恒成立是什么意思？lyx在:上方,数列递增430;0aa3,2,xxpxpxp164ap4323SSSS12340aaaa(.){}(),.nnnnnnpaapaapnNaanSSSnNp1113例6201911宁波十校15已知常数0，数列满足2，首项为前项和为.