-苏教版九年级上册--第二章-对称图形-圆--压轴题含答案

苏教版九年级上册第二章对称图形－圆压轴题含答案一、解答题1.如图，在△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以AB为直径的⊙𝑂分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠𝐶𝐵𝐹=12∠𝐶𝐴𝐵．(1)求证：直线BF是⊙𝑂的切线；2.已知：如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=5𝑐𝑚，𝐵𝐶=7𝑐𝑚，点P从点A开始沿AB边向点B以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△𝑃𝐵𝑄的面积等于4𝑐𝑚2？(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2√10𝑐𝑚？(3)在(1)中，△𝑃𝑄𝐵的面积能否等于7𝑐𝑚2？说明理由．3.如图，⊙𝑂的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠𝐴𝐶𝐵的平分线与⊙𝑂，AB的交点，P为AB延长线上一点，且𝑃𝐶=𝑃𝐸．(1)求AC、AD的长；(2)试判断直线PC与⊙𝑂的位置关系，并说明理由．4.如图，已知AB是⊙𝑂的直径，点C是⊙𝑂上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠𝐴𝐶𝐵，交AB于点F，连接BE．(1)求证：AC平分∠𝐷𝐴𝐵；(2)求证：△𝑃𝐶𝐹是等腰三角形；(3)若𝐴𝐹=6，𝐸𝐹=2√5，求⊙𝑂的半径长．5.如图，△𝐴𝐵𝐶中，以BC为直径的⊙𝑂交AB于点D，AE平分∠𝐵𝐴𝐶交BC于点E，交CD于点𝐹.且𝐶𝐸=𝐶𝐹．(1)求证：直线CA是⊙𝑂的切线；(2)若𝐵𝐷=43𝐷𝐶，求𝐷𝐹𝐶𝐹的值．6.已知：△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=8，𝐴𝐵=10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙𝑂分别与边CA，CB交于点E，F．(1)若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹，不写作法)；②如图2，连结EF，若𝐸𝐹//𝐴𝐵，求线段EF的长；③请写出求线段EF长度最小值的思路．(2)如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是______．7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以AB为直径的⊙𝑂交BC边于点D，交AC边于点𝐸.过点D作⊙𝑂的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．(1)求证：𝐵𝐷=𝐶𝐷；(2)若∠𝐺=40°，求∠𝐴𝐸𝐷的度数．(3)若𝐵𝐺=6，𝐶𝐹=2，求⊙𝑂的半径．8.如图，在⊙𝑂中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐵，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙𝑂于点G，连接EG，已知𝐷𝐸=4，𝐴𝐸=8．(1)求证：DF是⊙𝑂的切线；(2)求证：𝑂𝐶2=𝑂𝐸⋅𝑂𝑃；(3)求线段EG的长．9.如图，AB为⊙𝑂的直径，点C为⊙𝑂上一点，𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于H，∠𝐶𝐴𝐵=30°．(1)如图1，求证：𝐴𝐻=3𝐵𝐻；(2)如图2，点D为AB下方⊙𝑂上一点，点E为AD上一点，若∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，连接BD，求证：𝑂𝐸=𝐵𝐷；(3)如图3，在(2)的条件下，连接CE，若𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，𝑂𝐴=14，求BD的长．10.如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠𝐴𝑃𝐵=60°，𝑃𝐵=𝑚，𝑃𝐴=2𝑚，以点P为圆心、PB为半径作⊙𝑃，作∠𝑂𝐵𝑃的平分线分别交⊙𝑃、OP于C、D，连接AC．(1)求证：直线AB是⊙𝑃的切线．(2)设△𝐴𝐶𝐷的面积为S，求S关于m的函数关系式．(3)如图2，当𝑚=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙𝑄交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧𝑂𝐸⏜、𝑂𝐹⏜的中点，作𝑀𝐺⊥𝐸𝐹，𝑁𝐻⊥𝐸𝐹，垂足为G、H，试求𝑀𝐺+𝑁𝐻的值．11.已知，如图，在△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐴𝐷𝐶=90°，以DC为直径作半圆⊙𝑂，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠𝐵𝐸𝐷=2∠𝐶．(1)求证：BF是⊙𝑂的切线；(2)若𝐵𝐹=𝐹𝐶，𝐴𝐸=√3，求⊙𝑂的半径．12.已知：如图，𝐶𝐴=𝐶𝐵=𝐶𝐷，过三点A，C，D的⊙𝑂交AB于点F．求证：CF平分∠𝐵𝐶𝐷．13.如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐵=60°，CD是⊙𝑂的直径，点P是CD延长线上的一点，且𝐴𝑃=𝐴𝐶．(1)求证：PA是⊙𝑂的切线；(2)若𝐴𝐵=4+√3，𝐵𝐶=2√3，求⊙𝑂的半径．14.如图，AB为⊙𝑂的直径，点E在⊙𝑂上，C为𝐵𝐸⏜的中点，过点C作直线𝐶𝐷⊥𝐴𝐸于D，连接AC、BC．(1)试判断直线CD与⊙𝑂的位置关系，并说明理由；(2)若𝐴𝐷=2，𝐴𝐶=√6，求AB的长．15.如图，AB为⊙𝑂的直径，C为⊙𝑂上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙𝑂于点E，连接CE，CB．(1)求证：𝐶𝐸=𝐶𝐵；(2)若𝐴𝐶=2√5，𝐶𝐸=√5，求AE的长．答案和解析1.【答案】(1)证明：连接AE，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐸𝐵=90°，∴∠1+∠2=90°．∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠1=12∠𝐶𝐴𝐵．∵∠𝐶𝐵𝐹=12∠𝐶𝐴𝐵，∴∠1=∠𝐶𝐵𝐹∴∠𝐶𝐵𝐹+∠2=90°即∠𝐴𝐵𝐹=90°∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴直线BF是⊙𝑂的切线．【解析】(1)连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠𝐴𝐵𝐹=90°．(2)利用已知条件证得△𝐴𝐺𝐶∽△𝐴𝐵𝐹，利用比例式求得线段的长即可．本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．2.【答案】解：(1)设经过x秒以后△𝑃𝐵𝑄面积为4𝑐𝑚2(0𝑥≤3.5)此时𝐴𝑃=𝑥𝑐𝑚，𝐵𝑃=(5−𝑥)𝑐𝑚，𝐵𝑄=2𝑥𝑐𝑚，由12𝐵𝑃·𝐵𝑄=4,得12(5−𝑥)×2𝑥=4，整理得：𝑥2−5𝑥+4=0，解得：𝑥=1或𝑥=4(舍去)；答：1秒后△𝑃𝐵𝑄的面积等于4𝑐𝑚2(2)𝑃𝑄=2√10，则𝑃𝑄2=𝐵𝑃2+𝐵𝑄2，即40=(5−𝑡)2+(2𝑡)2，解得：．则3秒后，PQ的长度为2√10𝑐𝑚．(3)令𝑆△𝑃𝑄𝐵=7，即𝐵𝑃×𝐵𝑄2=7，(5−𝑡)×2𝑡2=7，整理得：𝑡2−5𝑡+7=0，由于𝑏2−4𝑎𝑐=25−28=−30，则原方程没有实数根；或Q到C了，P还在运动，(5−𝑡)×7÷2=7，解得𝑡=3(舍去)．所以在(1)中，△𝑃𝑄𝐵的面积不能等于7𝑐𝑚2．【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△𝑃𝐵𝑄的面积等于4𝑐𝑚2”“PQ的长度等于2√10𝑐𝑚”，得出等量关系是解决问题的关键．(1)经过x秒钟，△𝑃𝐵𝑄的面积等于4𝑐𝑚2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；(2)利用勾股定理列出方程求解即可；(3)令𝑆△𝑃𝑄𝐵=7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据𝑏2−4𝑎𝑐得出原方程没有实数根，从而得出△𝑃𝑄𝐵的面积不能等于7𝑐𝑚2．3.【答案】解：(1)连接BD，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，，∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐵=45°，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=45°，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐵=45°，∴△𝐴𝐷𝐵是等腰直角三角形，∵𝐴𝐵=10，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=10√2=5√2，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐵=10，𝐵𝐶=5，∴𝐴𝐶=√102−52=5√3，答：𝐴𝐶=5√3，𝐴𝐷=5√2；(2)直线PC与⊙𝑂相切，理由是：连接OC，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐵=10，𝐵𝐶=5，∴∠𝐵𝐴𝐶=30°，∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴∠𝑂𝐶𝐴=∠𝑂𝐴𝐶=30°，∴∠𝐶𝑂𝐵=60°，∵∠𝐴𝐶𝐷=45°，∴∠𝑂𝐶𝐷=45°−30°=15°，∴∠𝐶𝐸𝑃=∠𝐶𝑂𝐵+∠𝑂𝐶𝐷=15°+60°=75°，∵𝑃𝐶=𝑃𝐸，∴∠𝑃𝐶𝐸=∠𝐶𝐸𝑃=75°，∴∠𝑂𝐶𝑃=∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐸𝐶𝑃=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙𝑂相切．【解析】(1)连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐵=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△𝐴𝐷𝐵是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边𝐴𝐷=5√2，AC的长也是利用勾股定理列式求得；(2)连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠𝐶𝑂𝐵、∠𝐶𝐸𝑃、∠𝑃𝐶𝐸的度数，最后求得∠𝑂𝐶𝑃=90°，结论得出．本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．4.【答案】(1)证明：∵𝑃𝐷为⊙𝑂的切线，∴𝑂𝐶⊥𝐷𝑃，∵𝐴𝐷⊥𝐷𝑃，∴𝑂𝐶//𝐴𝐷，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，∴𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵；(2)证明：∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐶𝐸=45°，∴∠𝐵𝑂𝐸=2∠𝐵𝐶𝐸=90°，∴∠𝑂𝐹𝐸+∠𝑂𝐸𝐹=90°，而∠𝑂𝐹𝐸=∠𝐶𝐹𝑃，∴∠𝐶𝐹𝑃+∠𝑂𝐸𝐹=90°，∵𝑂𝐶⊥𝑃𝐷，∴∠𝑂𝐶𝑃=90°，即∠𝑂𝐶𝐹+∠𝑃𝐶𝐹=90°，而∠𝑂𝐶𝐹=∠𝑂𝐸𝐹，∴∠𝑃𝐶𝐹=∠𝐶𝐹𝑃，∴△𝑃𝐶𝐹是等腰三角形；(3)解：连结OE．∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐶𝐸=45°，∴∠𝐵𝑂𝐸=90°，即𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，设⊙𝑂的半径为r，则𝑂𝐹=6−𝑟，在𝑅𝑡△𝐸𝑂𝐹中，∵𝑂𝐸2+𝑂𝐹2=𝐸𝐹2，∴𝑟2+(6−𝑟)2=(2√5)2，解得，𝑟1=4，𝑟2=2，当𝑟1=4时，𝑂𝐹=6−𝑟=2(符合题意)，当𝑟2=2时，𝑂𝐹=6−𝑟=4(不合题意，舍去)，∴⊙𝑂的半径𝑟=4．【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．(1)根据切线的性质得𝑂𝐶⊥𝐴𝐷，而𝐴𝐷⊥𝐷𝑃，则肯定判断𝑂𝐶//𝐴𝐷，根据平行线的性质得∠𝐷𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，加上∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，所以∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶；(2)根据圆周角定理由AB为⊙𝑂的直径得∠𝐴𝐶𝐵=90°，则∠𝐵𝐶𝐸=45°，再利用