第12讲-线段和角w讲解

第11讲线段和角知识方法扫描直线上两点间的部分叫线段，关于线段的性质，有线段的公理：在所有连结两点的线中，线段最短。即：两点之间，线段最短。从一点引出的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转后得到的。本节的重点是线段与角的度量与计算。代数方法是线段与角的计算的主要方法。经典例题解析例1．（2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题）C是线段AB的中点,D是线段CB上的一点，如图所示。若所有线段的长度都是正整数，且线段AB所有可能长度的乘积等于140，则线段AB所有可能长度的和等于。ABCD解设线段CB的长度为x，则x≥2，AB=2x≥4，于是AB是偶数。又140=2×2×5×7，且140是线段AB所有可能的线段长度数的乘积，所以AB=10或14，故线段AB所有可能长度的和等于24。例2．（2001年第16届“迎春杯”数学竞赛试题）如图,A是直线上的一个点,请你在A点的右侧每隔1厘米取一个点,共取三个点,那么：(1)用B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上,一共有种不同的标法.(2)在每种标法中,AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别是.解：(1)将B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上,第一个点有3种标法,第二个点有2种标法,第三个点只有1种标法,所以共有321＝6(种)不同的标法.(2)下面是6种不同的标法：①中,(AB+BC+CD)：AD＝(1+1+1)：3＝1：1；②中,(AB+BC+CD)：AD＝(1+2+1)：2＝2：1；③中,(AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：3＝5：3；④中,(AB+BC+CD)：AD＝(3+2+1)：2＝3：1；⑤中,(AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：1＝5：1；⑥中,(AB+BC+CD)：AD＝(3+1+1)：1＝5：1；由此,在每种标法中,AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别为1：1或2：1或5：3或3：1或5：1或5：1.例3．（1998年第9届希望杯第1试试题）一个角的补角的31等于它的余角，则这个角等于______度。解设这个角为x度，则31(180-x)=90-x,解得x=22.5.例4．（2004年杭州市“思维数学”夏令营竞赛试题）如图是一个3×3的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数应该是________.解:从图中可以看出：∠3=∠5=∠7=45º，∠1+∠9=90º，∠2+∠6=90º，∠4+∠8=90º，故∠1+∠2+∠3+…+∠9=405º。例5．（2007年肇庆市八年级数学竞赛试题)现已知有两个角，锐角，钝角，赵，钱，孙，李四位同学分别计算1()4的结果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，四个结果中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（）（A）68.5°（B）22°（C）51.5°（D）72°解：∵0°90°,90°180°,∴90°α+β270°,于是22.5°1()467.5°,仅51.5°满足上式，故选C。例6．（2005年全国初中数学联赛试题）已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用α表示A－B，B－C以及90°-A中的最小者，则α的最大值为＿＿＿。解：记m,n,p中最小者为min{m,n,p}min,,90ABBCA　,,90623902709015901575,60,4515ABBCAABBCAABCABBCAABC　　　　　　　　　　另一方面，当时，有满足题设条件，故可取得最大值例7．（1990年浙江省初中数学竞赛试题）一条直线顺次排列着1990个点：P1，P2，…，P1990，已知点Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点（2≤k≤1989）,如P5是线段P4P6的5等分点当中最靠近P6的那个分点，如果线段P1P2的长度是1，线段P1989P1990的长度为l。求证：1l=1988•1987•…•3•2.证明：由题设可知P2是线段P1P3的中点，故P1P2=P2P3=1；P3是线段P2P4的3等分点当中最靠近P4的那个分点，故P3P4=12P2P3=12；……一般地，Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点,故PkPk+1=1kPk-1Pk+1=1kPk-1Pk+1kPkPk+1,于是有PkPk+1=11kPk-1Pk。当k=4，5，6，……，1989时，P4P5=13P3P4=132，P5P6=14P4P5=1432，P6P7=15P4P5=15432，……，P1989P1990=11988P1989P1989=11988198732，所以1l=1988•1987•…•3•2.例8．（第18届“迎春杯”数学竞赛试题）在一个圆上有六个点,它们之间可以连一些线段.那么至少连多少条线段,可以使得这六个点中任意三点之间都至少有一条线段?请说胆理由.解：不防设这三个点中连出线段最少的是A点.(1)若点A与其它点没有连线(孤立点),为了保证任意三点之间都至少有一条线段,所以其它五点之间必须两两连线,此时至少需要连5410()2条线段.(2)若点A连出线段恰好一条,设为AB,此时A点与其它四点无线段连结,类似(1)的情况,这四点之间必须两两连线,这样至少需要连431617()2条线段.(3)若点A连出线段恰好二条,此时其它点连出线段至少二条,于是这六个连出线段总和至少有266()2条.下面我们给出满足题意的6条连线的方法(如图所示).(4)若点A连出线段至少三条,此时每个点连出线段至少三条,于是这六个点连出线段总和至少有3926＝(条).综上所述,至少需连6条线才能满足题意.评注：圆上任意三点都不在同一直线上,因此圆上六点之间所连线段都不会出现重叠现象.本题的解答应用了极端性原理.原版赛题传真同步训练一选择题1．（1994-1995五市联赛）如图，∠AOC是直角，∠COD=21.5°,且OB,OD分别是∠AOC,∠BOE的平分线，则∠AOE等于（）。OABCED（A）111.5°（B）133°（C）134.5°（D）178°2．（2002年第13届希望杯试题）如图，直线上有三个不同的点A，B，C。且AB≠BC，那么到A，B，C三点距离的和最小的点（）ABC（A）是B点（B）是线段AC的中点（C）是线段AC外的一点（D）有无穷多个3．(2003年第8届全国公开赛)在1：50时，分针与时针所夹的小于平角的角为（）（A）850（B）900（C）1050（D）11504．（1995年第6届希望杯试题）如图，∠AOB=180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠DOB=α，则与α的余角相等的角是（）。jABOCED（A）∠COD（B）∠COE．（C）∠DOA（D）∠COA．5．（1998年第9届希望杯数学邀请赛试题）如图,已知B是线段AC上一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN:PQ等于()ACBMPQN（A）1（B）2（C）3（D）45.B二填空题6．（2004年北京市“迎春杯”数学科普活动日试题）如果两个角的和等于180°，称这两个角互为补角．如图，0为直线AB上的一点，若∠1=∠2，∠3=∠4，则图中互为补角的角共有对．7．（第16届“迎春杯”数学竞赛试题）如果∠AOB＝31.5°,∠BOC＝24.3°,∠AOD＝15°,那么锐角∠COD的度数为.解：∠AOB、∠BOC、∠AOD的位置关系有四种,如下：图1中,∠COD＝∠AOD+∠AOB+∠BOC＝15°+31.5°+24.3°＝70.8°；图2中,∠COD＝∠AOB+∠BOC－∠AOD＝31.5°+24.3°－15°＝40.8°；图3中,∠COD＝∠AOB+∠AOD－∠BOC＝31.5°+15°－24.3°＝22.2°；图4中,∠COD＝∠AOD+∠BOC－∠AOB＝15°+24.3－31.5°＝7.8°；∴锐角∠COD的度数为70.8°或40.8°或22.7°或7.8°.8．（2000年第11届希望杯数学邀请赛试题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为____。ABCD8.3设线段AC=x，CB=y，则有AD=,2yx，AB=,xyCD=2y，DB=2y.于是有73232xy。上式中x，y均为正整数，故y为偶数，又当y≥6时，73232xy，故y只能取2或4。当y=2时，x=163不是整数；于是y=4，进而x=3。9．（1996年第7届希望杯数学邀请赛试题）角α,β,γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算115(α+β+γ)的值时,全班得到23.5°,24.5°,25.5°这样三个不同的结果,其中确有正确的答案.那么α+β+γ=.9.352.5°设α90°,β90°,90°γ180°,则α+β+γ360°.但23.5°×15=352.5°,24.5°×15=367.5°,25.5°×15=382.5°,故仅352.5°符合题意，∴α+β+γ=352.5°.10．（第15届“迎春杯”数学竞赛试题）已知∠A的两条边和∠B的两条边分别平行,且∠A比∠B的3倍少20°,那么,∠B＝.10.50°或10°.由∠A的两条边和∠B的两条边分别平行可知∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B.又知∠A比∠B的3倍少20°,所以∠A＝3∠Ｂ－20°.设∠B＝x°,则∠A＝(3x-20)°,有(3x-20)+x=180或x=3x-20,解得x=50或x=10.三解答题11．（1996-1997学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）时间从8点到8点20分，钟表的时针和分针各转了多少度？在8点20分，时针和分针所成的小于平角的角是多少度？11.分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度.从8点到8点20分，钟表的时针和转了10度，分针转了120度.在8点20分，时针和分针所成的小于平角的角是130度.12．（2004年杭州市“思维数学”夏令营竞赛试题）已知OCAOB,90为一射线,ONOM,分别平分BOC和AOC,求MON的大小.12.(1)当OC在AOB内部时,易得45MON;(2)当OC在AOB外部时,要分BOC又可能为锐角,直角,钝角,平角4种情况进行讨论,结果分别为45,45,135,135.结论应为：MON为45或135.13．（1994年第5届“希望杯”数学邀请赛试题）(1)现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．(2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？(3)现有一个23°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？13.设“模板”的角度为α，假设可以由k个α角和t个180º的角画出1º的角来，即k，t满足kα-180t=1.(1)当α=19º时，取k=19，t=2。即用“模板”连续画出19个19º的角得到361º的角，去掉360º的角，就得到1º的角。(2)当α=17º时，取k=53，t=5。即用“模板”连续画出53个17º的角得到901º的角，去掉两个360º的角和一个180º的角，就得到1º的角。(3)当α=21º时，21k-180t=1没有整数解，不能画出1º的角。14．（1987年北京市中学生数学竞赛试题）一直线从左到右顺次排列着1987个点:P1,P2,P3,......,P1987,已知Pk点是线段Pk-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+1的那个分点(2≤k≤1986).例如,P5点就是线段P4P6的五等分点中最靠近P6的那个点.如果线段P1P2的长度是1,线段P1986P1987的长度是l,求证:2l198313.14．证明由题意2P应为31P