角的平分线总结

复习提问1、角平分线的概念2、点到直线距离的意义。一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角平分线的性质定理:定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线的性质定理：定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。应用定理的书写格式：OP是的平分线AOBOAPDOBPE\PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，，，垂足分别是D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。AOBOAPDOBPE证明：\90PEOPDO作射线OP\点P在角的平分线上AOB在Rt△PDO和Rt△PEO中，（HL）\BOPAOP（全等三角形的对应角相等）OP=OP（公共边）PD=PE（已知）\PEORtPDORt≌定理2BADOPE∵OAPDOBPE定理2的应用书写格式：OP是的平分线AOBOAPDOBPEPD=PE\（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）∵DEOPAB定理用途：定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分线AOB∵OAPDOBPE∵\OP是的平分线AOBPD=PEOAPDOBPE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线例1已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB证明：∵E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC∴EB=EC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）∴∠EBC＝∠ECB（在一个三角形中，等边对等角）ACEB想一想：题中BC被AE垂直平分吗？1234∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠∠1＝∠2∴∠3＝∠4又∵EB=EC∴AE垂直平分BC例2已知：如图DB⊥AB，DC⊥AC，B，C分别为垂足，DB=DC。求证：DA平分∠BDC1234证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC，DB=DC∴DA平分∠BAC∴∠1=∠2∵∠B=∠C=90°∴∠3=90°－∠1∠4=90°－∠2∴∠3=∠4∴DA平分∠BDC（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）ACBD角平分线问题的求解策略几何问题中，若出现角平分线这一条件，可联想角平分线的特性，利用如下求解策略。一.利用角平分线的对称性，翻折构造全等三角形例1如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD证明：延长AC至E，使AE=AB，连结DE，易证△ADB≌△ADE，∴∠B=∠E又∵∠ACD=∠E+∠CDE，∠ACD=2∠B∴∠ACD=2∠E，∴∠E=∠CDE，∴CD=CD∴AB=AE=AC+CE=AC+CD二、利用角的平分线的判定及性质解和差关系如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为BD的中点,且AO平分∠BAC.求证:(1)CO平分∠ACD;(2)OA⊥OC;(3)AB+CD=AC.三、利用角的平分线的判定与三角形全等证角的平分线如图,已知BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上四、过角平分线上一点，可以作一边的平行线来构造等腰三角形例3如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E。已知△ABC的周长为2004，BC的边长为704，求△ADE的周长。解：连接OC∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点∴OC平分∠ACB（三角形角平分线交于一点）∴∠OCE=∠OCB又∴DE∥BC∴∠EOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）∴∠OCE=∠EOC∴OE=EC（等角对等边）同理可证：OD=DB∴AD=DE=AE=（AD+DB）+（CE+AE）=AB+AC=2004-704=1300（1）角平分线的性质定理及其逆定理及作用；（2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样做实际是重新证了一次定理）。小结：