椭圆及其标准方程(内有画椭圆动图)

椭圆及其标准方程学习目标：1．掌握椭圆的定义；2．掌握椭圆的标准方程及其推导过程．一.图片感知认识椭圆(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2，(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动，看看画出的图形.二.类比探究形成概念数学实验：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？日常生活中，处处存在着椭圆,我们如何画出椭圆?椭圆的定义是什么？数学实验在画椭圆的过程中，1．细绳两端的位置是固定的还是运动的？2．细绳的长度变了没有？说明了什么？3．当绳长等于或者小于两图钉之间距离时会怎样？思考：当|MF1|+|MF2||F1F2|时,M点轨迹为椭圆.当若|MF1|+|MF2|=|F1F2|时,M点轨迹为线段.当若|MF1|+|MF2||F1F2|时,M点轨迹不存在.MF2F1我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义：MF2F1（1）必须在平面内;（3）|F1F2|是常数,并且|MF1|+|MF2||F1F2|;（2）定长——轨迹上任意点到两定点距离和确定.注意:2.观察椭圆的形状，类比圆的标准方程的建立过程，你认为怎样选择坐标系能使椭圆的方程简单？MF2F1思考：三.探索新知方程推导1.利用坐标法求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简.MF1F2方案1Oxy方案2F1F2M讨论方案：OxyxF1F2M0y解：以过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).由椭圆的定义得：aMFMF2||||21222221)(||,)(||ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222思考：如何化简带有根号的表达式？222222bayaxb则上式变为),0(222bbca设,0,,2222cacaca即由椭圆定义可知222)(ycxacxa即：2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca整理得：2222222)()(44)(ycxycxaaycx移项，再平方aycxycx2)()(2222得：两边同除以22ba椭圆的标准方程)0(12222babyax它表示：①椭圆的焦点在x轴；②焦点坐标为F1（-C，0），F2（C，0）；③c2=a2-b2.椭圆的标准方程)0(12222babyaxF1F2M0xy思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段的长度？abcc思考：当椭圆的焦点在y轴上时,且F1、F2的坐标分别是(0，c)、(0，c),a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？OxyF1F2Maycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(2222对比：椭圆的标准方程)0(12222babxay它表示:①椭圆的焦点在y轴；②焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）；③c2=a2-b2.xMF1F2yOabcc思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段的长度？2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO椭圆标准方程的再认识：（2）当a=4,b=1,焦点在x轴上时，求椭圆的方程.；位置，定写出焦点坐标的焦点11625椭圆判)1(22yx例1.四.夯实基础灵活运用1169144)1(22yx在y轴.（0，-5）和（0，5）11)2(2222mymx在y轴.（0，-1）和（0，1）跟踪训练11.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标.2.当a+b=10,c=时，求椭圆的方程.52，，或11636116362222xyyx222235352222102222a6222cab10a2c∴，又，∴所以椭圆的标准方程为：解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0），（2,0)并且经过点，求它的标准方程.)23-,25(161022yx由椭圆的定义知：).0(12222bayxba跟踪训练2椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，－4）,（0，4），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程..解：∵椭圆的焦点在y轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为)0(12222babxay192522xy感悟：求椭圆标准方程的方法步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定形：设出标准方程.③定量：求a,b的值.1.当a=4,b=,焦点在y轴上时，求椭圆的方程.2.如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离等于.3.已知椭圆的两个焦点分别是（0，-4）（0,4），a=5,求它的标准方程.1513610022yxF1F211622yx14192522xy五.当堂检测小试牛刀1、椭圆的定义（强调2a|F1F2|=2c）和椭圆的两种标准方程3、求椭圆标准方程的方法2、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法六.归纳总结提高认识1162522yx2.已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________F1F2CDXYO1.教材P491.2.3.七.巩固提高课后作业