二次函数周长最小问题

周长最小问题基本解题方法：1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）．（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．OABxy-6-93解：（1）依题意有a×02－4×0＋c＝－6a×32－4×3＋c＝－9即c＝－69a－12＋c＝－9·····································································2分∴a＝1c＝－6·················································································4分∴抛物线的解析式为：y＝x2－4x－6···············································5分（2）把y＝x2－4x－6配方，得y＝(x－2)2－10∴对称轴方程为x＝2··································································7分顶点坐标（2，－10）··································································10分（3）由点P（m，m）在抛物线上得m＝m2－4m－6······································································12分即m2－5m－6＝0∴m1＝6或m2＝－1（舍去）························································13分∴P（6，6）∵点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x＝2对称∴Q（－2，6）···················································································15分（4）连接AP、AQ，直线AP与对称轴x＝2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得△QMA的周长最小·············································································17分设直线AP的解析式为y＝kx＋b则b＝－66k＋b＝6∴k＝2b＝－6∴直线AP的解析式为：y＝2x－618分设点M（2，n）则有n＝2×2－6＝－219分此时点M（2，－2）能够使得△QMA的周长最小20分OABxy-6-93PQM2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3x－3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2－332x＋c（a≠0）经过点A、C，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP为直角三角形，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在点Q，使得△QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）∵直线y＝－3x－3与x轴交于点A，与y轴交于C∴A（－1，0），C（0，－3）∵点A，C都在抛物线上∴a＋332＋c＝0c＝－3解得a＝33c＝－3∴抛物线的解析式为y＝33x2－332x－3＝33(x－1)2－334∴顶点D的坐标为（1，－334）（2）令33x2－332x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3∴B（3，0）∴AB2＝(1＋3)2＝16，AC2＝12＋(3)2＝4，BC2＝32＋(3)2＝12∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形∴P1（0，－3）由抛物线的对称性可知P2的纵坐标为－3，代入抛物线的解析式求得：P2（2，－3）（3）存在．延长BC到点B′，使B′C＝BC，连接B′D交直线AC于点Q，则Q点就是所求的点过点B′作B′H⊥x轴于H在Rt△BOC中，∵BC＝12＝32，∴BC＝2OC∴∠OBC＝30°∴B′H＝21BB′＝BC＝32，BH＝3B′H＝6，∴OH＝3∴B′（－3，－32）设直线B′D的解析式为y＝kx＋b，则：yBOACDxyBOACDxB′QH－32＝－3k＋b－334＝k＋b解得k＝63b＝－233联立y＝－3x－3y＝63x－233解得x＝73y＝－7310∴Q（73，－7310）故在直线AC上存在点Q，使得△QBD的周长最小，Q点的坐标为（73，－7310）3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．解：（Ⅰ）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连接CE′、DE′、D′E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE可知△CDE的周长最小∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，∴BCOE＝BDOD∴OE＝BDOD·BC＝62×3＝1∴点E的坐标为（1，0）························································6分（Ⅱ）如图2，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截取EF＝2，则四边形GEFC为平行四边形，得GE＝CF又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，∴BGOE＝BDOD∴OE＝BDOD·BG＝BDOD·(BC－CG)＝62×1＝31∴OF＝OE＋EF＝31＋2＝37∴点E的坐标为（31，0），点F的坐标为（37，0）···················10分OABxyCDOABxyCDED′（备用图）OABxyCDED′图1E′OABxyCDED′图2FG3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．解：（1）由题意，得16a－4b＋4＝04a＋2b＋4＝0解得a＝－21，b＝－1∴抛物线的函数解析式为y＝－21x2－x＋4，顶点D的坐标为（－1，29）··············································································4分（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交EF于一点，则这一点为所求点H，使DH＋CH最小，即最小为：DH＋CH＝DH＋HB＝BD＝22DMBM＋＝1323而CD＝224291)(＋＝25∴△CDH的周长最小值为CD＋DR＋CH＝21335·······6分设直线BD的解析式为y＝k1x＋b1，则2k1＋b1＝0－k1＋b1＝29解得k1＝－23，b1＝3∴直线BD的解析式为y＝－23x＋3由于BC＝52，CE＝21BC＝5，Rt△CEG∽Rt△COBCBAOEFxyDGCBAOEFxyDGH得CE:CO＝CG:CB，∴CG＝25，GO＝23，∴G（0，23）同理可求得直EF的解析式为y＝21x＋23联立y＝－23x＋3y＝21x＋23解得x＝43y＝815故使△CDH的周长最小的点H坐标为（43，815）（3）设K（t，－21t2－t＋4），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N则KN＝yK－yN＝－21t2－t＋4－(21t＋23)＝－21t2－23t＋25∴S△EFK＝S△KFN＋S△KNE＝21KN(t＋3)+21KN(1－t)＝2KN＝－t2－3t＋5＝－(t＋23)2＋429··········································10分∴当t＝－23时，△EFK的面积最大，最大面积为429，此时K（－23，835）·············································································14分CBAOEFxyDGHKN4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－334，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．解：（1）由于折痕所在直线EF过E（－3，1）、F（－334，0）∴tan∠EFO＝3，直线EF的倾斜角为60°∴直线EF的解析式为：y－＝tan60°[x－(－3)]化简得：y＝3x＋4．·············································································3分（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B′（x1，y1），C′（x2，y2）过B′作B′A′⊥AE交AE所在直线于A′点∵B′E＝BE＝32，∠B′EF＝∠BEF＝60°∴∠B′EA′＝60°，∴A′E＝3，B′A′＝3∴A与A′重合，B′在y轴上，∴x1＝0，y1＝－2，即B′（0，－2）【此时需说明B′（x1，y1）在y轴上】·························································6分设二次函数的解析式为：y＝ax2＋bx＋c∵抛物线经过B（－33，1）、E（－3，1）、B′（0，－2）∴27a－33b＋c＝13a－3b＋c＝1c＝－2解得233431－－－＝＝＝cbaxyOBCEFA∴该二次函数解析式为：y＝－31x2－334x－2··············································9分（3）能，可以在直线EF上找到P点，连接B′C交EF于P点，再连接BP由于B′P＝BP，此时点P与C、B′在一条直线上，故BP＋PC＝B′P＋PC的和最小由于为BC定长所以满足△PBC周长最小．·················································10分设直线B′C的解析式为：y＝kx＋b则bkb＋＝＝－－3302解得2932－－＝＝bk∴直线B′C的解析式为：y＝－932x－2··········································12分又∵点P为直线B′C与直线EF的交点∴432932＋＝＝－－xxyy解得111031118－－＝＝yx∴点P的坐标为（－31118，－11