数字信号处理-俞一彪-孙兵-课后习题答案

第一章习题参考解答1-1画出下列序列的示意图(1)(2)(3)(1)(2)(3)1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。图1.41信号x(n)的波形(1)(2)(3)(4)(5)(6)(修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期(1)解：非周期序列;(2)解：为周期序列，基本周期N=5;(3)解：，，取为周期序列，基本周期。(4)解：其中，为常数，取，，取则为周期序列，基本周期N=40。1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？(1)非线性移不变系统(2)非线性移变系统（修正：线性移变系统）(3)非线性移不变系统(4)线性移不变系统(5)线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？(1)，其中因果非稳定系统(2)非因果稳定系统(3)非因果稳定系统(4)非因果非稳定系统(5)因果稳定系统1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图(1)(2)(3)解：（1）（2）（3）1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？(1)(2)(3)解：(1)采样不失真(2)采样不失真(3)，采样失真1-8已知,采样信号的采样周期为。(1)的截止模拟角频率是多少？(2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？(3)若，求的数字截止角频率。解：(1)(2)(3)1-9计算下列序列的Z变换，并标明收敛域。(1)(2)(3)(4)(5)解：(1)(2)(3)(4)，，收敛域不存在(5)1-10利用Z变换性质求下列序列的Z变换。(1)(2)(3)(4)解：(1),(2),(3),(4),1-11利用Z变换性质求下列序列的卷积和。(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1)，,，,(2),，,(3),，,(4)，,(5),，，(6)，，，1-12利用的自相关序列定义为，试用的Z变换来表示的Z变换。解：1-13求序列的单边Z变换X(Z).解：所以：1-14试求下列函数的逆Z变换(1)(2)(3)(4)，整个Z平面（除z=0点）(5)(6)解：(1)(2)，(3)(4)(5)(6)1-15已知因果序列的Z变换如下，试求该序列的初值及终值。(1)(2)(3)解：(1),(2)，(3)，1-16若存在一离散时间系统的系统函数，根据下面的收敛域，求系统的单位脉冲响应，并判断系统是否因果？是否稳定？(1)，(2)，(3)解：(1)，，因果不稳定系统(2)，，非因果稳定系统(3)，，非因果非稳定系统1-17一个因果系统由下面的差分方程描述(1)求系统函数及其收敛域；(2)求系统的单位脉冲响应。解：(1)，(2)1-18若当时；时,其中N为整数。试证明：(1)，其中，(2)，收敛域证明：(1)令，则其中,(2),1-19一系统的系统方程及初时条件分别如下：，(1)试求零输入响应，零状态响应，全响应；(2)画出系统的模拟框图解：(1)零输入响应，，得，则零状态响应，，则(2)系统模拟框图1-20若线性移不变离散系统的单位阶跃响应,(1)求系统函数和单位脉冲响应；(2)使系统的零状态，求输入序列；(3)若已知激励，求系统的稳态响应。解：(1)激励信号为阶跃信号，，(2)若系统零状态响应则(3)若，则从可以判断出稳定分量为：1-21设连续时间函数的拉普拉斯变换为，现对以周期T进行抽样得到离散时间函数，试证明的Z变换满足：证明：，则当时1-22设序列的自相关序列定义为，设。试证明：当为的一个极点时，是的极点。证明：，故当为的一个极点时，也是的极点。1-23研究一个具有如下系统函数的线性移不变因果系统，其中为常数。(1)求使系统稳定的的取值范围；(2)在Z平面上用图解法证明系统是一个全通系统。解：(1)，若系统稳定则，极点，零点(2)，系统为全通系统1-24一离散系统如图，其中为单位延时单位，为激励，为响应。(1)求系统的差分方程；(2)写出系统转移函数并画出平面极点分布图；(3)求系统单位脉冲响应(4)保持不变，画出节省了一个延时单元的系统模拟图。解：(1)(2)（修正：此题有错，两个极点位于0.5j(3)系统的单位脉冲响应（修正：随上小题答案而改变，是两个复序列信号之和）(4)（修正：此图错误，乘系数应该为0.5，输出端y(n)应该在两个延迟器D之间）1-25线性移不变离散时间系统的差分方程为(1)求系统函数；(2)画出系统的一种模拟框图；(3)求使系统稳定的A的取值范围。解：(1)系统函数(2)（此图非直接形式，是转置形式）(3)若使系统稳定，系统极点,则（修正：要根据系统是否为因果系统分别考虑，非因果系统下极点应该位于单位圆外）第二章习题解2-1解:,2-2证明:根据线性移不变系统的频率响应特性:当一个LSI系统的输入信号是一个复正弦信号时,该系统的输出也是一个复正弦信号,与输入信号相比多了系数.信号==2-3解:(1)令(2)图见电子版(3)当系统是线性移不变系统时,若输入信号为实正弦信号,输出信号也是一个具有相同频率的正弦信号,但该信号的幅度和相位都发生了变化.表达式如下:系统函数为,输入信号,输出信号当时,2-4解:(1)零点极点(2)(4)图见电子版2-5解:系统是LSI系统,,其中2-6证明:(1),(1的离散时间傅立叶变换为)即,则(2)令(3),当且仅当时有值(4)2-7解:2-8解:,,,区间的幅度谱:区间内三种采样频率下的幅度谱2-9解：2-10解：首先观察四种情况都满足Nyquist采样定理，因此，采样后的信号的频谱将是原连续信号频谱以为周期的延拓。（1）（2）（3）（4）22-11证明：2-12解：（1）对差分方程求Z变换得：（即为矩形窗的幅度谱）（2）图见电子版（3）2-15（1）载波信号为1处信号（2）2-13证明：（1）设（2）（3）由式（1）（2）（3），令上式中原题得证。2-14证明：2-18解：对差分方程求Z变换全通系统为常数，即也为常数。可对求导，其导数应为0。即：或题中要求取2-19解：（1）（2）（3）当输入信号是实正弦信号，为系统输出（5）当时，。不是因果系统（6）2-20解：设取样器的输出为设压缩器的输出为由b图中两系统等效可列出如下等式：等式两边约简可得：第三章习题解3-1解：（1）（2）（3）补零后：不变；变化，变的更加逼近（4）不能3-2解：（1）令循环卷积其余（2）其余其余（3）其余（4）补一个零后的循环卷积其余3-3解：，即可分辨出两个频率分量本题中的两个频率分量不能分辨3-4解：对它取共轭：与比较，可知：1，只须将的DFT变换求共轭变换得；2，将直接fft程序的输入信号值，得到；3，最后再对输出结果取一次共轭变换，并乘以常数，即可求出IFFT变换的的值。3-5解：可以；证明：设其中是在单位圆上的Z变换，与的关系如下：是在频域上的N点的采样，与的关系如下：相当于是在单位圆上的Z变换的N点采样。3-6解：,,图见电子版3-7解：，，，，图见电子版3-8解：，，，同理：图见电子版3-9解：系统为单位脉冲响应设加矩形窗后得到的信号为，对应的短时离散频谱：，，，，电子图3-10解：（1）考虑对称位置取（2）考虑对称位置取（3）考虑对称位置取3-11解：（1）（2）（3）（4）3-12镜像为镜像为镜像为镜像为3-13解：（1）离散信号值：（2）3-14解：至少需要2000点个信号值3-15解：，，，第四章习题参考解答4-1对于系统函数，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流图。解：4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为对应每种形式画出系统实现的信号流图。（1）直接Ⅰ型。（2）直接Ⅱ型。（3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。（4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型4-3已知模拟滤波器的传输函数，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。（设采样周期T＝0.5）解：4-4若模拟滤波器的传输函数为，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。（设采样周期T＝1）解：4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率，截至频率。解：,4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率，截至频率。解：，，归一化，4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率，上下边带截至频率分别为，。解：，，，4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤波器。解：一阶巴特沃滋，4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏；频率在处的衰减为－3.01dB；在处的幅度衰减至少为15dB。解：设,则：，通带：,即阻带：，即阶数：，查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为双线性变换实现数字低通滤波器4-10一个数字系统的采样频率，已知该系统收到频率为100Hz的噪声干扰，试设计一个陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。解：，令，，，，设N=2，则第五章习题解5-1:对照以上两公式可知：因此：n0n4n=0n=1n=2n=3n=45-2理想低通滤波器的h(n)如下：,h(n)如图5-2所示：图5-2若要使h(n)变成因果系统，则可将h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3).系统的幅频响应如下：5-3(1)这是一个低通滤波器，通带和阻带各有三个波峰。（2）因为以下的依据3dB下降作为通带边界频率，可计算得到：（3）最小阻带衰减5-4由分式（5.39）根据A计算，如下：由表5.1根据过度带宽度计算窗口：单位脉冲响应如下：单位脉冲响应如下：其中为凯泽窗。5-5答：减小窗口的长度N，则滤波器的过度带增加，但最小阻带衰减保持不变。5-6：图5.30中的滤波器包括了三类理想滤波器，包括了低通，带通和高通，其响应的单位脉冲响应如下：设窗函数长度为N，则满足线性相位条件的h(n)为起右移，对h(n)加长度为N的矩形窗，如下：，0≤n≤N-1由于时，不能为零，故N应取奇数。5-7由公式（5-39）得出窗函数参数如下：由表（5-1）根据过度带宽度得窗长N如下：，单位脉冲响应如下：滤波器频幅响应如下：5-8：由公式（5.39）,根据最小阻带衰减A=40dB得参数由表5.1，根据过度带计算窗长N，线性FIR高通滤波器单位脉冲响应如下：5-9由公式（5-39），根据阻带衰减A=60dB计算：由表（5-1），根据过渡带宽得：单位脉冲响应如下：5-10:采用频率取样设计法设计高通线性相位FIR滤波器，可利用与LPF相同的方法，由于最小阻带衰减为40dB,可在过渡带内设置两个采样点。采样点：截止频率对应的点（）由IDFT公式，根据H(k)得：5-11（1）由公式（5.68）求滤波器脉冲响应长度N如下：（2）（3）（4）增加或减少长度N，将使滤波器的过度带变窄或增宽。（5）5-12(1)由公式（5-68）计算脉冲响应长度：(2)(3)(4)增加N，过渡带变窄，反之变宽。(5)5-13由于中点对称，FIR具有线性相位。量化值：误差：当8比特时，,16比特时，显然16比特量化时，可以比8比特量化的有更多的精度（小数位数），因此与实际设计精度更加接近，相应的幅度响应也更符合幅度指标。5-14：可直接根据公式(5.75)计算得归一化因子：5-15根据对称性，上式为：显然，上式括号中的两个余弦函数之和计算为零，因此但