中南大学-数字图像处理-课件-4章-DFT

数字图像处理主讲：梁毅雄中南大学信息科学与工程学院计算机楼407(图形与图像实验室)[e-mail]频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题背景知识系统：线性系统：对于某特定系统，有x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：a×x1(t)a×y1(t)系统x(t)输入y(t)输出背景知识线性系统平移不变性对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有平移不变性背景知识卷积的定义:对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助卷积积分:记为)(*)()(xhxfxgdxhfxg)()()(背景知识离散一维卷积二维卷积离散二维卷积10)()(1)(*)(MmmxhmfMxhxfdudvvyuxhvufyxgyxf),(),(),(*),(1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxgyxf背景知识傅立叶变换:周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示—这种情况下的公式就是傅立叶变换频率域图像增强本章要点背景知识傅立叶变换频率域滤波基础频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器需要注意的问题傅立叶变换一维傅立叶变换设函数f(x)在任一有限区域(-L,L)上满足：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积，则其傅立叶变换定义为其逆变换为dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(傅立叶变换函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它可以用下式表示：)()(|)(|)()()(arctan)()()(|)(||)(|)()()()(22222)(uIuRuFuPuRuIuuIuRuFeuFuFujIuRuFuj傅立叶变换傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量这个名称源于欧拉公式中的指数项exp[-j2ux]=cos2ux-jsin2ux如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率傅立叶变换00.20.40.60.811.21.4-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.811.21.4x00.20.40.60.8-4-224u矩形函数矩形函数的傅立叶谱例：为右图所示的简单矩形函数f(x)，求其傅立叶变换F(u)。2220022122sinsinjuxXXjuxjuxjuXjuXjuXjuXjuXFufxedxAAedxejuAAeeeejujuAuXeuuXFuAXuX解：00.20.40.60.811.21.4-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.811.21.4x00.20.40.60.8-4-224u矩形函数矩形函数的傅立叶谱傅立叶变换22222sinsin12cos22sin22tuftftFueeuuuuttujuutftufuffjufufeuf函数高斯矩形脉冲t三角脉冲冲激单位阶跃余弦正弦复指数傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在：dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxπjvyuxπj)(2)(2),(),(),(),(二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：),(),(|),(|),(),(),(arctan),(),(),(|),(||),(|),(22222),φ(vuIvuRvuFvuPvuRvuIvuvuIvuRvuFevuFvuFvuj傅立叶变换例：求如图所示的函数的傅立叶谱xyf(x,y)Af(x,y)函数0,,0,00,0),(yYyxXxYyXxAyxf傅立叶变换其傅立叶变换为：])sin(][)sin([]1)[2](1)[2(]]2[]2[),(),(220202020200)(2)(2πuYeπuYπuXeπuXAXYeπvjAeπujAπvjeπujeAdyedxeAdxdyAedxdyeyxfvuFjππujππuπuYjπuXjYπuyjXπuxjYπuyjXπuxjXYvyuxπjvyuxπj|)sin(||)sin(||),(|πvYπvYπuXπuXAXYvuF其傅立叶谱为：傅立叶变换傅立叶变换离散傅立叶变换：由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform－简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系傅立叶变换一维离散傅立叶变换01201201NjuxNxNjuxNxfxNxfxfxxxFufxeNfxFue设离散函数为相应连续函数取个间隔的取样值。离散函数的傅立叶变换对为傅立叶变换323240000020222460222369022214,410,00123411,10123412,20123413,301234jjuxxjjejjjjjjNFufxeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefe取展开为傅立叶变换矩阵表示000030220233903221,0011122433jjjjjjjjjFWfNeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee考虑到记作傅立叶变换傅立叶变换二维傅立叶变换：11200112001,,0,1,2,,1;0,1,2,,1,,0,1,2,,1;0,1,2,,1.MNjuxMvyNxyMNjuxMvyNuvFuvfxyeMNuMvNfxyFuvexMyNMN容易将一维离散傅立叶变换推广到二维情况式中：式中：在数字图象处理中，图象一般取方形，即傅立叶变换傅立叶变换二维离散傅立叶变换特性可分离性平移性分配性和比例变换性旋转特性周期与共轭对称均值性卷积与相关微分傅立叶变换可分离性二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是：二维DFT可分离为两次一维DFT应用：二维快速傅立叶算法FFT，是通过计算两次一维FFT实现的傅立叶变换先对行做变换：然后对列进行变换：f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv傅立叶变换平移性当u0=M/2,v0=N/2)//(20000)//(20000),(),(),(),(NvyMuxjNyvMxujevuFyyxxfvvuuFeyxfyxyxjNyvMxujee)1()()//(200vuyxvuFNyMxfNvMuFyxf)1)(,()2/,2/()2/,2/()1)(,(傅立叶变换分配性和比例变换性对于系数a和b)],([)],([)],(),([)],([)],([)],(),([21212121yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf)/,/(1),(),(),(bvauFabbyaxfyxaFyxaf傅立叶变换旋转特性：如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度。对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的),(),(),(),(sin,cos,sin,cos0000rfFFrfvuryrx傅立叶变换周期与共轭对称周期性共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数),(),(),(),(),(),(),(),(NyMxfNyxfyMxfyxfNvMuFNvuFvMuFvuF),(),(),(),(**vuFvuFvuFvuF傅立叶变换傅立叶变换均值性:离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值xyxyeyxfMNFyxfMNyxf0),(1)0,0(),(1),(傅立叶变换卷积与相关:空域和频域之间的基本联系卷积定理相关定理),(),(),(*),(),(),(),(*),(yxhyxfvuHvuFvuHvuFyxhyxf),(),(),(),(),(),(),(),(yxhyxfvuHvuFvuHvuFyxhyxf1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf傅立叶变换微分222,,22,,,nmmnfxyxyjujvFuvfxyuvFuv2时域上的微分对应频域。拉普拉斯对应频域-4等于傅立叶谱乘以项，相当于传递函数随频率平方增加的线性系统。22uv傅立叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换快速傅立叶变换Why?对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法和和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算计算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：1001,,2,1,0)(1)(/2MuexfMuFxMuxj傅立叶变换12/0212121200112(2)222001202221:1(2)122221211122121112212nMuxjMMMxMMuxuxMMxxKKuxuxuK