有阻尼的多自由度系统

2020年10月7日《振动力学》1教学内容•多自由度系统的动力学方程•多自由度系统的自由振动•频率方程的零根和重根情形•多自由度系统的受迫振动•有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动2020年10月7日《振动力学》2•频率方程的零根和重根情形回顾：（1）两个例子系统存在刚体运动，此时柔度矩阵F不存在，刚度矩阵奇异。（2）多自由度系统的自由振动刚度矩阵半正定，，系统为半正定系统，此时存在f(t)=at+b的刚体模态。0K即本节将讨论的零固有频率的情形1I2Ikm1m2k1k2m3多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》3对于n自由度系统：0KXXMnRX广义特征值问题：0MKφ)(2有非零解的充要条件：φ02MK0若必有：0KK为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系统的刚度矩阵K是半正定的。结论：0Kφ0说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产生弹性恢复力。多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》4假定系统中01相应的主坐标方程：01px积分，得：batxp1a、b由初始条件决定表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形01111ppppxkxm2020年10月7日《振动力学》5设为零固有频率对应的刚体位移模态)1(φ正交性条件)(0)()(jijTiφφM要求：)~2(0)()1(niiTφφM其中，为系统的除刚体位移之外的其它模态)~2()(niiφ设)~2(nixpi为与所对应的主坐标)~2()(niiφ)~2(0)()1(nixpiiTφφM令：nipiix2)(φX系统消除刚体位移后的自由振动可得约束条件：0)1(MXTφ利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的。右乘：pix多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》6例：教材P100习题4.14（不考虑阶梯力的作用）初始条件：TX]0000[0TvvX]00[0求系统响应mmkkmkm多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形解：方法一动力方程:0110012100121001100000000000043214321xxxxkxxxxmmmm0KXXM021mk)22(22mk223mk)22(24固有频率:奇异矩阵2020年10月7日《振动力学》7模态矩阵：1111)21(1)21(12112111111Φ正则模态：2211221122)21(122)21(1222112221122112211NΦ令：NNXΦX0ΛXXNN得：TNNNNNxxxx][4321X初始条件：TNN]0000[)0(01XΦXTNNvm]0101[)0(01XΦX多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形02NiiNixx展开，得：)4~1(i2020年10月7日《振动力学》80ΛXXNNTNN]0000[)0(01XΦXTNNvm]0101[)0(01XΦX021mk)22(22mk223mk)22(24在正则坐标中分两种情况求解01（1）1i时01Nx运动方程：batxN1解：0)0(1NxvmxN)0(1初始条件：vma0b得：vtmxN1所以：（2）1i时4,3,2,sin)0(cos)0(itxtxxiiNiiNiNi02NxtvmxN333sin04Nx代入初始条件，可求得：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形)4~1(02ixxNiiNi2020年10月7日《振动力学》9在正则模态中的响应：vtmxN102NxtvmxN333sin04Nx写成矩阵：TTNNNNNttvmxxxx]0sin10[][334321X原物理空间的自由振动响应：ttttttttvNN33333333sin1sin1sin1sin12XΦX多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》10解：方法二：利用约束条件0110012100121001100000000000043214321xxxxkxxxxmmmm0)1(MXTφ1111)21(1)21(12112111111Φ代入约束条件：04321xxxx4321xxxx0110121103000000432432xxxkxxxmmm代入方程，并整理：mmkkmkm多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形非奇异矩阵奇异矩阵2020年10月7日《振动力学》110110121103000000432432xxxkxxxmmmmk)22(22mk223mk)22(24求得固有频率：021方法一：mk)22(22mk223mk)22(24方法一：2211221122)21(122)21(1222112221122112211NΦ221122122)21(122)21(222112221NΦ正则模态：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》120110121103000000432432xxxkxxxmmmmk)22(22mk223mk)22(24221122122)21(122)21(222112221NΦ模态空间响应：TN]000[)0(XTNvm]010[)0(X初始条件：02NxtvmxN333sin04Nx物理空间响应：TNNtttv]sin1sin1sin1[2333333XΦX4321xxxxtx331sin1第一个质量块的响应：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》13ttttvxxxx333333334321sin1sin1sin1sin12写成矩阵形式：ttttttttvxxxx333333334321sin1sin1sin1sin12方法一结果：消除了刚体位移多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形tx331sin1tx332sin1tx333sin1tx334sin12020年10月7日《振动力学》14•频率方程的重根情形在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的特征值都是特征方程的单根。复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况例如，柔性航天结构下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振型问题多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》15假使是r重根2122221r即有：其余的都是单根221,,nr0MKφ)(21212将代入特征值问题表达式：][21MK特征矩阵的秩：rnrank][21MK即：n个方程中只有n-r个是独立的例如当是单根时，r=121n个方程中只有n–1个是独立的多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形即r=2为简单计，令：211则计算对应的模态时，中有2个是不独立的方程0MKφ)(21将的最后两个元素的有关项移至等号右端：φnn、12020年10月7日《振动力学》16nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmk)()())()()()()(,221,211,2211,222,2212,211,2211,2,121,111,121,122,1212,111121110MKφ)(21任意给定两组线性独立的值)1()1(1nn、)2()2(1nn、和nn、1例如：01)1()1(1nn10)2()2(1nn可解出其余n–2个（i=1~n-2，j=1,2）的两组解)(ji)2()1(iiφφ、多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》1701)1()1(1nn10)2()2(1nn)2()1(iiφφ、第1、第2阶模态：TnTn]10[]01[)2(2)2(2)2(1)2()1(2)1(2)1(1)1(φφ（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件（不正交）令：)1()2()2(φφφcnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmk)()())()()()()(,221,211,2211,222,2212,211,2211,2,121,111,121,122,1212,11112111)2(φ也是如下方程的解：多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形2020年10月7日《振动力学》18要正交，需满足：)2()1(φφ、0)2()1(φφMT0)()1()2()1(φφφcTM即：解得待定系数c为：)2()1(1)1()1()2()1(1φφφφφφMMMTpTTmcc得到后，即可得到相互正交的)2()1(φφ、多自由度系统振动/频率方程的零根和重根情形01)1()1(1nn10)2()2(1nn)2()1(iiφφ、第1、第2阶模态：TnTn]10[]01[)2(2)2(2)2(1)2()1(2)1(2)1(1)1(φφ（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件（不正交）令：)1()2()2(φφφc2020年10月7日《振动力学》19相互正交)2()1(φφ、又分别与相互正交)2()1(φφ、)~3()(njjφ？模态矩阵：nnnR],,,,[)()3()2()1(φφφφΦ可使质