秩亏自由网平差两种方法比较

*作者简介：张成校（1986-），男，硕士研究生，主要从事工程测量及测量数据处理方面的工作.E-mail:[e-mail]（1.中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221008；2.中国矿业大学江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏徐州221008）摘要：秩亏自由网在变形监测等领域应用比较普遍，由于没有必要的起算数据，因此平差方法与以往有所不同。本文通过秩亏自由网平差的直接解法和附加条件法对同一水准闭合环进行了平差，通过比较发现附加条件法更好一些。关键词：秩亏自由网平差；直接解法；附加条件法中图分类号：P207ComparisonbetweentwomethodsofrankdefectfreenetworkadjustmentZhangChengxiao1,2(1.SchoolofEnvironmentalScienceandSpatialInformatics,ChinaUniversityofMiningandTechnology,JiangSuXuZhou221008;2.ChinaUniversityofMiningandTechnology,JiangsuKeyLaboratoryofResourcesandEnvironmentalInformationEngineering,JiangSuXuZhou221008)Abstract:Rankdefectfreenetworkisusedmorecommonlyinareasofdeformationmonitoring,Intheabsenceofthenecessaryinitialdata,soitisdifferentfromthepastmethodofadjustment.Inthisarticle,thesamelevelofclosedloopisadjustmentbythedirectmethodandthemethodofadditionalconditionsofRankDefectFreeNetworkAdjustment,themethodofadditionalconditionsisbetterbycomparing.Keywords:rankdefectfreenetworkadjustment;directmethod;methodofadditionalconditions0引言测量数据处理中，当观测网中缺乏或者没有必要的起算数据，而又以观测网中点坐标进行平差计算时，会产生误差方程系数阵秩亏，通常是采用秩亏自由网平差理论来解决误差方程系数阵秩亏的问题[6]。一般设网中全部待定坐标个数为u，必要观测数为t，全部观测数为n，则系数阵B为nu×阶矩阵，其秩R(B)=tu，列亏数d=u−t，相应的法方程系数阵uuN也是秩亏阵，其秩R(N)=R(B)=tu，秩亏数仍为d=u−t，这种网称为秩亏自由网[2]。产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d就是网中必要起算数据的个数。1秩亏自由网平差原理下面简单介绍一下秩亏自由网平差原理[1-5]。设u个坐标参数的平差值为1ˆuX，观测向量为1nL，函数模型为11111ˆˆnnnuunnLLVBXd=+=+(1-1)其中R(B)=tu，d=u-t，相应的误差方程为=−(1-2)式中0ˆˆXXx=+，00()lLBXdLL=−+=−秩亏自由网平差的函数模型是具有系数阵秩亏的间接平差模型。随机模型仍是22100DQP−=σ=σ(1-3)按最小二乘原理，在minTVPV=下，由(1-4)式可组成法方程为ˆTTBPBxBPl=(1-4)由于()()TuuRBPBRNtu==，1N−不存在，方程(1-4)不具有唯一解，这是因为参数ˆx必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。坐标基准个数即为秩亏数d。设有d个坐标基准条件，其形式为1ˆ0TduuSx=(1-5)基准条件，也就是所选的u个参数之间存在的d个约束条件，这是基准秩亏所致。例如在水准网中，1d=，即1ut=+，有一个基准条件，如上例的3ˆ0x=，则剩下的t个独立参数可得唯一解。在测角网中，需要四个基准条件，即4d=，若设条件为1ˆ0x=，1ˆ0y=，2ˆ0x=，2ˆ0y=则其余坐标参数就可在坐标基准下求得平差值，这是属于经典自由网平差的d个坐标基准条件。附加的基准条件(1-5)式应与法方程(1-4)式线性无关，这一要求等价于满足下列关系：0uuudNS=(1-6)因TNBPB=，故亦有0BS=(1-7)此外，(1-6)式中的d个方程也要线性无关，故必须有()RSd=。联合解算(1-2)和(1-5)式，此即附有限制条件的间接平差问题，在ˆ2()minTTTVPVKSxψ=+=下得法方程为ˆˆ0TTTBPBxSKBPlSx⎧+=⎨=⎩(1-8)将上式的第一个方程两边左乘TS，顾及(1-7)式得0TSSK=因矩阵TSS正则，故有0K=(1-9)因此ˆ2()TTTTVPVKSxVPVψ=+=亦即秩亏自由网平差中的V和TVPV是与基准条件无关的不变量。将(1-8)式中第二式左乘S并与第一式相加，考虑0K=，得ˆ()TTTBPBSSxBPl+=(1-10)ˆ()TTTTxBPBSSBPlQBPl−′=+=(1-11)式中1()TTQBPBSS−′=+ˆx的协因数为ˆˆTXXQQBPBQQNQ′′′′==(1-12)单位权中误差为0ˆ()TTTVPVVPVVPVfntnudσ===−−−(1-13)以上导得的(1-11)、(1-12)、(1-13)式即为秩亏自由网平差公式。2算例解算如图(1)所示水准路线图，A、B、C、D、E点全为待定点，同精度独立高差观测值为1h=10.236，2h=5.635，3h=－20.864,4h=15.568,5h=－10.565，平差时选取A、B、C、D、E五个待定点的高程平差值为未知参数1ˆX、2ˆX、3ˆX、4ˆX、5ˆX，并去近似值：01020030405100110.236115.87195.007110.575XXXXXX⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（m）。分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵[1]。ABCDEh1h2h3h4h5图1水准网图Fig.1LevelNetwork2.1直接解法误差方程为：×××−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠法方程为：ˆTTBPBxBPl=即12345ˆ2100110ˆ121000ˆ0012100ˆ001210ˆ1001210xxxxx−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠由法方程易知：112100021001210012N−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−−⎜⎟−⎝⎠，121001121000121000121N−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠，110000W⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠所以有：11111221024311()134250122TQNN−⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠未知参数的改正数为：1111142ˆ()024TTxNNNW−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(mm)未知参数的平差值为：01110222033304440555ˆˆ100.004ˆˆ110.238ˆˆ115.871ˆ95.005ˆˆ110.571ˆXxXXxXxXXxXXxXX⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠(m)由误差方程得误差值：×−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(mm)未知参数的协因数阵为：ˆˆ11111111TXXQNQNQN==201100201111020151102001102−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠单位权中误差为0ˆ()TTTVPVVPVVPVfntnudσ===−−−=25(mm)2.2附加条件法误差方程为：12355515145ˆ110000ˆ011000ˆˆ001100ˆ000110ˆ1000110xxBxlxxx×××−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠法方程为：12345ˆ2100110ˆ121000ˆ0012100ˆ001210ˆ1001210xxxxx−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠该水准网有5个待定点，所以附加阵为：()5111111TS×=511111155555TG×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠则有：210011111111411412100111114114111101210111111411415500121111111141141001211111411411TNNGG−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+=+=−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠所以有：142ˆ024xNW−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(mm)未知参数的平差值为：01110222033304440555ˆˆ100.004ˆˆ110.238ˆˆ115.871ˆ95.005ˆˆ110.571ˆXxXXxXxXXxXXxXX⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠(m)由误差方程得误差值：5122222V×−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(mm)未知参数协因数阵为：1ˆˆTxxQNGG−=−=201100201111020151102001102−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠单位权中误差为0ˆ()TTTVPVVPVVPVfntnudσ===−−−=25(mm)3结论通过上述结算过程，可以看出秩亏自由网平差直接解法和附加条件法对同一水准网解算的结果是完全相同的。通过比较，发现附加条件法的计算量要比直接法小，尤其是解算未知参数协因数阵方面，附加条件法要比直接法容易许多。秩亏自由网平差直接解法和附加条件法可以互为检核，以确保平差结果的准确性，避免出现错误。中国科技论文在线[参考文献](References)[1]张书毕，魏峰远，刘国林，等.测量平差[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003[3]崔希璋，於宗俦，陶本藻，等.广义测量平差(第二版)[M].武汉：武汉大学出版社，2009[4]崔希璋，於宗俦，陶本藻，等.广义测量平差(新版)[M].武汉：武汉测绘科技大学出版社，2001[5]黄维彬.近代平差理论及应用[M].北京：解放军出版社，1992[6]谢建，朱建军.约束秩亏自由网平差的一种新算法[J].测绘工程，20