第三讲-秩亏自由网平差

第三讲秩亏自由网平差上节广义最小二乘准则：1、基本模型为：2、平差准则：ˆ,ˆ,xxxVXLPVBXLP120ˆ00xxXVLBVXVLIDPDminTVPV以上即为极大验后估计的等价解法！minTTxxxVPVVPVˆ,ˆ,xxxVXLPVBXLPminTTxxxVPVVPV()()0220ˆˆ()()0ˆ()()0TTxxxTTxxTxxTTxxxVPVVPVXXVPBVPBPBXLPXLBPBPXBPLPL120ˆ00xxXVLBVXVLIDPDminTVPV120112200()220ˆˆ00ˆ()0000ˆ000TTTTTxXTTxXXBVPVVVPVPIXXBIPVLDBBIXLDILDDBBIXBILDDI秩亏自由网平差所介绍的秩亏自由网平差应用于：“自由网”的平差；观测方程的系数阵是列亏的(即：不需假定必要起算数据)；不考虑参数的先验统计特性。一、问题的提出自由网：当控制网中没有必要的起算数据时，通常称为自由网。附合网、独立网：当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据的网，称为附合网；等于必要起算数据，称独立网。自由网平差方法分为：经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等，一般为自由网。1、经典自由网平差例：选定x3的高程为已知，则可列出误差方程为：1112223310ˆ11ˆ01vlxvlxvl法方程：系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异，方程有唯一解：经典平差法的条件：是在控制网中必需设定足够的坐标起算数据；121232ˆ210ˆ12llxllx121232ˆ21ˆ12llxllx也可设定各点的高程近似值时，取x3的已知高程为近似值，但。（即设一点的高程为已知）其函数模型为：这就成为附有条件的间接平差了。3ˆ0x1112223333ˆ101ˆ110ˆ011ˆ0vxlvxlvxlx2、秩亏自由网平差如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则误差方程为：111222333ˆ101ˆ110ˆ011vxlvxlvxl组法方程：法方程系数阵：可见，系数阵的行列式等于零,即是一个奇异阵，方程有无穷多组解。产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起算数据个数。秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数，d=R'（B）-R（B）（R‘（B）是B的列满秩数，R（B）是实际秩数。）211121112TBPBˆ0TTBPBxBPl秩亏自由网平差：如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。思考：在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数相等？水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网的秩亏数各是多少？二、秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的函数模型为相应的误差方程为随机模型为法方程为111ˆˆnnuunLBXdˆVBxl22100LLDQPˆ0TTBPBXBPl问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定的估计量;解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基础上附加另外条件;附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量是最优的.这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!1、秩亏法方程的最小范数解（直接解法）设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小范数解。1222212()TnXXXxxxminminTXXX或求最小范数的法方程解过程：即求下列数学解：得：ˆ0ˆˆminTTNXBPLXXˆ()TXNNNBPLˆ2()min2200()()TTTTTTTTTXXKNXBPLXKNXNKNKNNKBPBKNNBPBXNNNBPB解：广义逆矩阵的概念1）广义逆A-1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列矩阵方程的A-定义为A的广义逆2、广义逆A-的计算A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。A是列满秩时A是行满秩时A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。nmmnnmnmAAAA11()TTLAAAA11()TTRAAAA降阶法：•在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇异方阵的广义逆A-。•可见A-不唯一。•例如：•可以验证：11111001123211011111,0101110010000ARAdAAA，（），AAAA2）广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆）1、定义：满足下列四个条件，即2、A+的计算当A为对称方阵时：()()TTAAAAAAAAAAAAAAAA()()AAAAAAAA值得说明的是：1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的，故X有唯一解！2）以上解法又称为“直接解法”。精度估计参数估值的协因数阵：单位权方差估值仍为：ˆˆ()()()()TXXQNNNBPQPBNNNNNNNNNNN20ˆ()TTVPVVPVnRAnrR(A)=等于所选参数个数u-秩亏数d2、附加条件法（是一种实用算法）自由网误差方程为为消除秩亏，附加条件按最小二乘原则，作函数得法方程解法方程，得X解ˆVBXl1ˆTxuduuuSPXoxˆ2()minTTTVPVKSPXˆTxTxNpSAPlXSpOOK111122122TTxTxNpSQQXAPlAPlSPOQQKOO11ˆˆ1111ˆTXXXQAPlQQNQ或者，整理得：111ˆˆ20ˆ()()()ˆ()TTxTTTxxxxTTxNSPSBPlQNSPSBPBNSPSVPVVPVfnud3.伪观测值法数学模型:平差准则:minTVPVˆ000TgxVBlVxVSPPPI11ˆ,ˆ,TgxduuuudVBxlPVSPxI1ˆ()TTxxNSPSBPl按间接平差法求参数：1、合并2、法方程：3、解参数ˆˆ,000ˆ000ˆ0000ˆ()TxTTTTTTTxxxTTTBlVxBxlSPPPIBPBxBPlBBBPPlxSPSPSPIIxBPBSSBPl可见，其与附加条件法解是等价的。以上介绍可知：直接算法需要求广义逆；附加条件法或伪观测法需要确定两项：Px和S。按平差基准不同可将自由网平差分为三类:1）以全部网点重心为基准(简称重心基准)的秩亏自由网平差；(PX=E）2）以网中部份相对稳定点重心为基准(简称拟稳基准)的拟稳自由网平差(简称拟稳平差，PX1=0,PX2=E,)；3）即网中存在d个起始数据,这就是固定基准下的经典自由网平差。秩亏问题解决：经典平差（附加固定的基准条件）和伪逆平差（直接利用广义逆求解）；优缺点：解法简捷，但没考虑到解法物理意义，不能反映真实情况。提出：拟稳平差理论。“拟稳平差”的基本思想：考虑到监测网中的点，处于不同的地质构造和地球物理环境，随着时间的延伸，都可能发生变动，但是总存在相对变化小的，即相对稳定的点。4、自由网拟稳平差我国周江文研究员针对变形监测网提出了一种所谓拟稳平差的自由网平差方法。1、自由网拟稳平差原理设不稳定未知数X1，稳定未知数为X2，则误差方程为11221112121ˆˆˆunnunuuXVBXlBBlX注意：u2大于d，若u2=d，则拟稳平差转化为经典自由网平差。值得注意的是：1）在拟稳平差中，稳定点未知数需满足：如：水准网稳定未知数大于1，测边网大于等于4等。2）如取，就是秩亏自由网平差；3）如取，就为经典自由网平差。2uud21,0utu21,udur附加基准条件11122212ˆ000,0TxuuTTTxdududuuuSPXPSSSI即：只对相对稳定的拟稳点施以最小范数条件，以达到消除秩亏，求解未知量的目的！T2S2ˆ0X附加基准即为：按最小二乘原则得1ˆˆ2ˆ()()0TTSSTTSSXXTTSXNSSBPlQNSSGGSS其中：G是S标准化矩阵.可见，自由网平差的方法分为（1）经典自由网平差；（2）重心基准的秩亏自由网;(3)拟稳平差。所遵循的原则是:minˆmin0TTTXXVPVXPXSPX等价于随着所选取基准PX不同，平差准则也会变化。一般地,自由网平差模型可概括为:1、式中PX为基准权,它不是X的先验权,X为非随机参数。2、对于重心基准,PX=E(单位阵),3、对于拟稳基准,PX2=E4、对于固定基准,PX=0ˆ,,minˆˆminxTTXVBxlPPVPVXPX22000XttPI5、自由网S的具体形式附加矩阵S是根据保证消除秩亏前提计算的，即满足也就是求法方程系数阵地零特征值对应的特征向量。1、水准网情况（ｄ=1）1111TtS0NS附加矩阵即为：1210...0TuiuiSXxxxx2、测边网情况（ｄ=3,m为网中三角点数目）（X0,Y0为点的近似坐标）详细的附加条件为：320000001122101010010101TmmmSyxyxyx1100100()0miimiimiiiiixyyxxy3、测角网情况（ｄ=4）0000004211220000001122101010010101TmmmmmSyxyxyxxyxyxy附加条件句体形式为：110010010,0()0()0mmiiiimiiiiimiiiiixyyxxyxxyy4、边角网情况（ｄ=3）边角自由网与测边网的S完全相同。5、GPS网情况（ｄ=3）（与水准网情况类似）33100100100010010010001001001TmS1110,0,0mmmiiiiiixyz例：在下图水准网中，观测高差、距离和各待定点高程近似值见表，分别进行下列自由网平差：（1）以6号点为固定点的经典自由网平差；（2）以重心基准的自由网平差（Pχ=E）；（3）以1，