手拉手模型的巧妙应用

手拉手模型的巧妙应用什么是手拉手模型？先看几个典型图形，我们再尝试找出规律.等边三角形，等腰直角三角形（正方形）共一个顶点的手拉手模型，不难发先，通过SAS判定，出现全等三角形.如何快速找到等腰三角形呢，我编了一个顺口溜，头头尾尾，头尾全等.图形一杠代表头，二杠代表尾.ECADCBACEABDACEBCDDCGBCE以上是特殊等腰三角形，那么一般等腰三角形呢？依然可以通过头头尾尾，头尾全等（SAS)找到全等三角形.于是，我们可以初步总结，两个相似的等腰三角形（一大一小），共顶点（顶角的顶点），那么通过SAS判定，我们是可以找到一对全等三角形的.我们也可以这样理解，等腰三角形绕顶角顶点放缩旋转角度，必然可以通过SAS找到一对全等三角形.这为后续的构造旋转相似提供了思路.旋转角度如果是特殊角（60°，90°，120°），会给计算求值带来方便.三角形旋转,可以先研究线段绕某点旋转，如图，线段绕点旋转90度，会形成边长比为2:1:1的等腰直角三角形，若60，会形成1:1:1的等边三角形，若120,会形成3:1:1的等腰三角形。【例1】如图，四边形ABCD中，45ADCAABC，将BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到ACE若AD=2,CD=3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长.【解答】易知旋转角为90°，连接DE,90DCE45,CEDCDECECD,90CDEADCADE，22234222DEADAEBD【变式训练1】如图，P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=11，求APB的度数.【解答】如图，PBA绕点B顺时针旋转至EBC,11,3,2PCPAECPE,易知90PEC,45APBCEB.★【变式训练2】如图，已知⊙O的半径为2，以弦AB为边在⊙O内部作正方形ABCD，连接OD，则OD的最小值为？【解答】如图，连接OA,OA绕点A顺时针旋转90°至1AO，连接OBOO,1，易证BAOODA1,BOOD1，2,221OBOO，22211OBOOBO，所以OD的最小值为222.【例2】如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为？【解答】如图，ABP绕点A逆时针旋转60°至1ACP,那么31PP,901CPP,1501CAP，过点A作CPAH1,233,231HPAH,31225233423222AC,43259432ACSABC【变式训练】如图，已知△ABC，分别以AC，BC，AB为边，作等边三角形ACE，BCD和ABF，连接AD，BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE．【解答】证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB＝∠CAD；设BE与AC交于Q，又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°，在PE上截取PH＝PC，连接HC，则△PCH为等边三角形，∴HC＝PC，∠CHP＝60°，∴∠CHE＝120°；又∵∠APE＝∠CPE＝60°，∴∠CPA＝120°，∴∠CPA＝∠CHE；在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP＝EH，∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．我们通过旋转的思路来理解手拉手，那么不等边三角形放缩旋转后有怎样的规律呢？如图，ABC绕顶点A逆时针放缩旋转至ADE,不然发现，全等没有了，我们可以找到2组相似三角形，AEADACAB,ACEABD∽，ADEABC∽，也就是说放缩旋转后本身有一对相似三角形，又增加了一对相似三角形，而不是全等.是对应边成比例，而不是对应边相等.我们可以总结为“旋转一拖二”，即绕某点放缩旋转三角形，会增加一对相似三角形，形成两对相似三角形.【例3】如图，AD=2，BD=4，连接AB,以AB为直角边，在AB上方构造ABCRt90ABC，30BAC，连接CD,当ADB变化时，CD的最大值为？【解答】如图，线段BD长度缩减为原来的33倍长，绕点B顺时针旋转90度至BE，连接EC，易证BCEBAD∽，33ABBCADEC,332EC,由于点E是固定点，我们可以把点C看成是以E为圆心，332为半径的圆上的点,此时338DE,3310CD.【变式训练1】如图，在ABC中，AB=AC=10，以BC为边在BC下方作RtBCD，90BCD，BC=2CD，若90BDCBAC，则AD的长度为？【解答】旋转相似，如图所示.【变式训练2】AB=4，AB中点为O，圆O的半径为1，点P在圆O上移动，正PAK，连接BK，则BK的取值范围是？【解答】构图所示.