数学归纳法PPT

B1B2请问：以上三个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。问题3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”问题2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五边形的内角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)•180º。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全归纳法，问题3是用的完全归纳法。一、提出问题1、错2、对3、对B3问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例01234222222132152117212572165537......费马观察到：猜想：都是质数法国的数学家费马（PierredeFermat）(1601年～1665年)。十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，221()nnFnNB4二、概念1、归纳法定义：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。2、归纳法分类：归纳法完全归纳法不完全归纳法想一想：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？说明：（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。提出问题如何寻找一种严格推理的归纳法？B5二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。【归纳奠基】【归纳递推】B6问题情境三多米诺骨牌课件演示B73、数学归纳法思考题：（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问题？（3）为什么这些步骤缺一不可？（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？B8（二）、数学归纳法的步骤根据(1)(2)知对任意的时命题成立。0nNnn且注：（1）证明当取第一个值或时结论正确n00(12)nn（2）假设当时结论正0(,)nkkNkn且确，并证明当时结论也正确。1nk两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。（1）（2）B9数学归纳法的应用题型一用数学归纳法证明等式问题题型二用数学归纳法证明不等式问题题型三用数学归纳法证明整除问题题型四用数学归纳法证明几何问题题型五用数学归纳法解决探究性问题B102)1(6)12)(1(kkkk证明：1、当n=1时,左=12=1，右=∴n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时，原等式成立由1、2知当nN*时，原等式都成立16)12)(11(16)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2kkkkkkk6)12)(1(3212222kkkk6)12)(1(3212222nnnn例1.用数学归纳法证明第二步的证明要用上归纳假设!B11【例2】用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立．即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)×…×(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]即n＝k＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N*等式均成立．题型一用数学归纳法证明等式问题①用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式两边会增加多少项，增加怎样的项．②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．第二步的证明要用上归纳假设!B12)(1)1(1321211Nnnnnn，等式均成立。）可知，对一切正整数）（由（时等式成立。即右边左边时，当时等式成立，即）假设当（右边，等式成立；，左边，右边时，左边）当（2111)1(121211)2111()3121()211(11)1(14313212112212111knkkkkkkkknkkkkknn用数学归纳法证明：证明：请你来批作业第二步的证明没有用上归纳假设!右边左边21)2)(1()1()2)(1(1)2()2)(1(112kkkkkkkkkkkkkB13例3、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:.12nnnaaS.1nnan证:(1)当n=1时,=1,结论成立.111,11)1(211211111aaaaSa(2)假设当n=k时,结论成立,即.1kkak则当n=k+1时,.)111(21)1(21kkkkkaaSkkk).0(1012)1(21111211111kkkkkkkkkakkaakakaaSSa故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.第二步的证明要用上归纳假设!B14(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.B151）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：B16【例4】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式(1＋13)(1＋15)…(1＋12n－1)2n＋12成立．题型二用数学归纳法证明不等式问题在用数学归纳法证明不等式时，往往需要综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、配方法、分析法、综合法、重要不等式法、放缩法(特别注意放缩要有“度”)等．证明：①当n＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左右，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即(1＋13)(1＋15)…(1＋12k－1)2k＋12，那么当n＝k＋1时，(1＋13)(1＋15)…(1＋12k－1)[1＋12k＋1－1]2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋12·2k＋1＝2k＋1＋12，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．B17例5、用数学归纳法证明:).,2(2413212111*Nnnnnn证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.,241324144131221121(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:,2413212111kkk则当n=k+1时,我们有:)11221121(212111221121212)1(11)1(1kkkkkkkkkkk题型二用数学归纳法证明不等式问题B18.2413)22)(12(12413)221121(2413kkkk即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.2,nNn例6、证明不等式:*11112().23nnNn证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,2131211kk则当n=k+1时,我们有:B19,11211131211kkkk.12112.01121211)1(2)112(12kkkkkkkkkkkkk.1211131211:kkk故即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.B20例7、求证:222111112(,2).23nNnnn证:(1)当n=2时,左边=,右边=,由于故不等式成立.45211223212,2345(2)假设n=k()时命题成立,即2,kNk.12131211222kk则当n=k+1时,22222)1(112)1(1131211kkkkB21即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.2,nNn.112)111(12)1(112)1(1122kkkkkkkkkB22例8、已知x1，且x0，nN，n2．求证：(1+x)n1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x1，所以1+x0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+11+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明：（1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x0，∴1+2x+x21+2x=右∴n=1时不等式成立B23例9、已知求证:.,131211)(nnf)1(22)2(nnfn证:(1)当n=2时,,不等式成立.22212124131211)4()2(2ff(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即.22)2(kfk则当n=k+1时,有:.22)1(212221222212211212221221121)2()2(1111kkkkffkkkkkkkkkk即当n=k+1时,不等式成立.由(1),(2)所证不等式对一切都成立.2,nNnB24【例10】用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．题型三用数学归纳法证明整除问题证明：法一：(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立