电磁场与电磁波-ppt第四章：恒定磁场

Chapter4恒定磁场4.1概述4.2安培定律4.3磁场的基本方程4.4矢量磁位4.5磁偶极子4.6磁介质4.7标量磁位4.8磁场能量4.9磁场力§4.1概论一、磁现象与电现象的不同由于无自由磁荷，磁场的基本规律不是直接根据人类同磁性材料的最早接触中得出的，而是从研究电流与磁场之间的关系入手，也就是说，人们研究磁现象不象静电学里，从研究两点电荷之间的作用力出发，而是研究两闭合电流回路之间的作用力出发。二、磁场与恒定磁场磁场：表现为对运动电荷(电流)有作用力恒定磁场：由恒定电流或永磁体产生的磁场，不随时间改变，称为恒定磁场，又称为静磁场。§4.2安培定律一、历史：1819,奥斯特：观察到载电流的金属线能使附近的永磁偶极子(磁针)发生偏转，从而发现了电流是磁感应强度的源。1820，首先是毕奥—沙伐尔，接着1820—1825是安培，根据许多精巧而严密的实验建立了关于磁感强度B与电流关系的基本实验定律。这就是安培力定律。二、安培力定律—两闭合电流回路的相互作用力如图所示，两闭合电流回路，它们之间的相互作用力，由实验观察为：其中：F的单位为牛顿（N）I的单位为安培（A）的单位为米（m）lμ0为真空中的磁导率，有为由指向的方向矢量，有Ra1ld2ld12,rrRRRaRmH/10470微分形式的安培力定律：令上式中的被积函数为，则有：12Fd这个表达式的意义可以解释为：电流元对电流元的作用力。11ldI22ldI三、磁感应强度B的引入—毕沙定律回忆：电场强度的概念是由库仑力定律引出的与此类似，对于电流元的相互作用力，其根源是回路1在空间产生磁场,该磁场对电流回路2的作用。可将安培力表达式改写为：可以看出，括号内的量与无关，仅与回路1的电流元分布和场点位置有关。从而引入一新的物理量—磁感应强度B。22ldI它表示回路1在r2点的磁感应强度，单位为Wb/m2（韦伯/米2）或T（特斯拉）上式称为毕—沙定律。它在磁场中的作用相当于电场中的库仑定律。对于电流元（）在空间某点的磁感应强度，有：lId显然，电流元为磁感应强度B的源。体电流密度与体电流分布产生的磁场o电流密度：为了描述体积分布电荷在空间各处移动的状态，即电流在空间分布的状态(如图),在垂直于电荷流动的方向取一个面积元S若流过的电流为,则定义一个矢量(体电流密度)SIJ其大小为:单位为A／m2sIJs0lim其方向定为正电荷运动的方向.o表面电流密度若电荷在一薄层内流动时，可定义表面电流密度为：sJ单位为A／mo体电流分布产生的磁感应强度204RadsdlJBdR所以对于体电流分布，毕—沙定律表示为：面电流密度与面电流分布产生的磁场lIJsdRaJBdR204dRaJBR204当巳知表面电流密度矢量为时，可求任意有向曲线所穿过的电流。（如图）SJ表面电流在表面S上任取一个有向线元则有：l代入得到所以表面电流场中，任意有向曲线所穿过的电流sinlJlJIssjlnnnsinsin令为Js的单位矢量，为的单位矢量和为表面S的法向单位矢量，则llnjssJlnJjllnIllssldlJJldnIo面电流分布的磁场强度对于面电流分布，有：204RadldlJBdRs于是：四、毕—沙定律与库仑定律的比较可以看出，在毕—沙定律中，电流元对磁场的作用与库仑定律中电荷元的作用是相类似的，且它们都满足平方反比规律；它们的明显不同之处是“磁场的源是矢量，而电场的源是标量。lIddv但值得注意的是，电流元与方向矢量之间的关系是矢量积的关系，遵从右手螺旋法则。Example4.1计算通过电流的一段长为的直导线的磁感应强度B（r）。Il解：由于源分布是旋转对称的，因此，采用柱坐标系，将线电流与Z轴相重合,电流元为考虑到源变化与φ无关，则场在Z—r平面上的变化都是一样的，可选φ=0的平面，并不失一般性。zaIdz由：又考虑到代入，从而得到2cosrdzdtanrzztanrzzcosrR其中：对于无限长直流电流，有：从而有：2122rIaB20Example4.2求通过电流I的细圆环在轴线上的磁感应强度，设圆环的半径为a。同样采用柱坐标，使Z轴与圆环的轴线相重合，并将圆环放置于Z=0的平面上。显然电流元为：解：aIad.由毕—沙定律，有：又考虑到：从而得到：值得注意的是：对Br，可以看出：对于圆环上相差π的电流元，其合成的Br相互抵消，因此，磁感应强度只有Bz。当z=0,即载流圆环的圆心处,有aIaIaBz2203200232220202024zaIaaRaRaIdaBzz五、洛仑兹力自然，可把被积函数解释为回路的电流元Idl所受的力，即：对于体电流，有：对于面电流，有：又考虑到电流与电荷的关系，有：从而得到运动电荷在磁场中受的力为：对于一个电流回路所受的力，可以写为：BlIdFBlIdFdBdJFdBSdJFdsvqdvdJ如果空间同时存在电场和磁场，则运动电荷所受的力表示为：运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力BvqBdJFBvEqF§4.3恒定磁场的基本方程一、磁通与磁通连续性定律1.磁通：磁感应强度B对一个曲面的面积分称为磁感应强度穿过这个曲面的通量，简称磁通量，即：磁通量Φ的单位为韦伯（Wb），因此，人们又把磁感应强度称为磁通密度(Wb/m2)。2.磁通连续性定律在回路C的磁场上任取一个闭合面S，计算穿过此闭合面的B的通量。由矢量恒等式代入矢量恒等式：(见附录)ssdAsdAdsAn得到：由于梯度的旋度恒为零，从而有：又利用散度定理，得到：0B这说明：磁感应强度B是无散的，也就是说，不存在自由磁荷。称为磁通连续性定律的积分形式;称为磁通连续性定律的微分形式.二、磁场的旋度、安培环路定律1.磁场的旋度：考虑到由毕—沙定律对于体电流分布，有利用矢量恒等式：有由于是恒稳磁场，根据电流连续性方程，有又考虑到微分算子▽是对场点坐标的微分，而对电流源J的微分为零，即：又利用矢量算子恒等式：代入有：对于第一项，采用分部积分，有：从而，得到：实际上即：此方程又称为静磁学第二方程，它的意义是：电流密度是磁感应强度的源，它相当于静电学中的高斯定律。JB02.安培环路定律对上式做面积分，有利用斯托克斯定理，有：即IldBl0或llIldHldB0这个公式称为安培环路定律，它说明，真空中磁感应强度H沿闭合回路的积分，等于回路包围的总的电流强度.而该定律的微分形式为:JH或JB0真空中磁场的基本方程归纳(见新教材P47-49)磁通连续性定律安培环路定律微分形式积分形式0BlIldHJH3、利用安培环路定律,可方便的计算出高度对称性分布电流的磁场注:1、上述恒定磁场的基本方程，同样对时变磁场适用；2、这两个基本方程，是判断一个矢量场是否为磁场的唯一依据；求无限长直线电流I的磁感应强度。Example4.3将直线电流与Z轴重合，由于源分布的对称性，磁感应B也是对称分布，方向与电流方向呈右手螺旋相同半径上的磁感应的模相等。对磁感应沿以Z轴为圆心、半径为r的闭合曲线积分，考虑到安培环路定律，有：解：从而立即得到磁感应为显然对于这个问题，用安培环路定律比用毕—沙定律要容易的多。Example4.4半径为a的无限长直导体通过电流I，计算导体内、外的磁感应B.用安培环路定律求解比较方便，如图所示：解：（1）导体外的磁感应作围绕导体的同心闭合曲线，如右图所示，设电流为Z方向，由安培环路定律有即该结果表明，对于导体外空间的磁场，圆柱导体中分布的电流，与全部集中在轴线上一样（线电流）。（2）导体内的磁感应：在导体内，电流密度的分布为同样，在导体内作与导体柱轴心重合的闭合曲线，利用安培环路定律，有所以B随距离的变化规律B(r)raI20aExample4.5﹡一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与Z轴重合，通过电流为I，求空间的磁感应强度。如图所示，将导体带分成宽度为dx’的细线电流，则根据安培环路定律,细线电流在空间的磁感应为解：注意：表示磁场方向的技巧利用图中列出的关系,有对从-a~a积分,有x§4.4矢量磁位(见新版P111)一、矢量磁位的引入在某些情况下，直接求解磁感应强度比较麻烦，因此有必要引入一些场量，在求解磁场的解之前，先求出这些辅助场量，然后利用这些辅助的场量与磁感应强度之间的关系，再求出磁感应强度的解。矢量磁位就是这种辅助场量之一。因为有矢量恒等式0A因此，可以定义矢量A就称为矢量磁位，显然这样定义的矢量磁位，其对应的磁感应强度也满足磁通连续性定律。AB利用磁感应强度的散度为零的特性，即：0B值得注意的是，与电场中的电位不同，矢量磁位没有明确的物理意义，只是为了磁场计算方便而定义的一个辅助量。二、库仑规范为了唯一地确定矢量磁位A，还必须确定A的散度，定义为因为如不加这种规范,矢量磁位就不是唯一的.设A1是磁场的矢量磁位,取12AA则BAAAA1112所以A2也是磁场的一个矢量磁位.注意到:1212AAA所以规定矢量磁位的散度是必要的.同时取它的散度为零会带来很多方便。称为库仑规范值得注意的是，库仑规范是一个人为的规定。三、矢量磁位与电流源的关系有考虑到库仑规范，有：称为矢量泊松方程。该方程可分解为三个标量泊松方程在无源区域有矢量拉普拉斯方程02A由JB0值得注意的是，矢量磁位的关系式形式上虽然与电位的泊松方程和拉普拉斯方程相同，但实质上是有区别的，这是因为电位Φ是标量，关系式是标量关系式，矢量磁位A是矢量，关系式是矢量关系式。矢量磁位中的拉氏算符与标量中的拉氏算符完全不同，因为对于矢量梯度的定义与标量函数的梯度的定义是完全不同的。在直角坐标系下，矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程可表示为较简单的形式：矢量泊松方程矢量拉氏方程四、矢量磁位的求解由毕—沙定律ccRldIRRldIB144030和矢量恒等式:RldldRldR111所以:ccRldRldIB40其中0ld积分是对源坐标,而是对场坐标即cRldIB40cRldIA40对于体分布电流,其矢量磁位的表达式为:显然（在直角坐标下）有：相对于毕—沙定律而言，显然，用求矢量磁位比直接求磁感应强度B来得简单。五、磁通与矢量磁位的关系即：磁通等于矢量磁位对包围S的闭合围成的线积分。RdJA40求无限长直流电流的矢量磁位和磁感应强度B。Example4.6先计算一段长度为l的直线电流的矢量位，如图所示：解：2221222204llzllzzzrzdaRzdIaA22220ln4llzzzrzzIa222202222ln4rzlzlrzlzlIaz应用积分公式：rlIalrlIaAzzln2ln4020对A求旋度得到caxxxadx222122ln当时l0r当时，为了防止为无限大，可令处的磁位