人教版-八年级数学-与三角形有关的角讲义-(含解析)

第1讲与三角形有关的角知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的角，这是几何题目中出现概率较为频繁的，要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。知识梳理讲解用时：20分钟与三角形有关的线段1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性课堂精讲精练【例题1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1、2、3B.3、3、7C.20、15、8D.5、15、8【答案】C与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形的内角和是180°2、三角形的外角性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型：两内角角平分线夹角两外角角平分线一内角、一外角角平分线夹角∠P=90°+∠A∠P=90°-∠A∠P=∠A4、直角三角形的性质：（1）两锐角互余（2）等面积法计算S=ab=ch（3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明方法如左图【解析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边则成立讲解用时：2分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边难度：2适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】若a、b、c分别为三角形的三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|【答案】-a+b+3c【解析】根据三角形的三边关系可以得出：b+c＞a，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，化简合并同类项讲解用时：2分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】a、b、c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值.【答案】（1）2＜c＜6；（2）c=5【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2＞c，两边之差小于第三边a-b=2c-6＜c，求出c的取值范围.讲解用时：3分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【答案】A【解析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．∵∠1+45°+90°=180°，∴∠1=45°，∵∠1=∠2+30°，∴∠2=15°．又∵∠2+∠α=180°，∴∠α=165°．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（）A．90°B．58°C．54°D．32°【答案】D【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠C，∵∠B=2∠C﹣6°，∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，∴∠C=32°．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形内角和定理.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°【答案】B【解析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．解：如图所示，延长BC交AD于点E，∵∠A=50°，∠B=20°，∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°，∴∠BCD=∠CED+∠D=70°+30°=100°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形的外角性质难度：3适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【答案】24°【解析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．教学建议：熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（）A．75°B．50°C．35°D．30°【答案】C【解析】根据平行线的性质得出∠DEC=140°，进而利用三角形内角和解答即可．解：∵DE∥BC，∴∠DEC=∠ACF=140°，∴∠AED=180°﹣140°=40°，∵∠ADE=105°，∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC=140°．教学建议：熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．【答案】105°【解析】证明CD∥EF，得到∠2=∠BCD，证明DG∥BC，根据平行线的性质证明即可．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=105°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握平行线的判定和性质.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据三角形的角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，根据三角形的外角的性质计算即可．解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，∴∠ACD﹣∠ABC=25°，∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°，∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，∴∠ABM=20°，∠CAM=，∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，求∠BFC的度数.【答案】120°【解析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．教学建议：熟记两内角角平分线的模型.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，∠A=50°，则∠D=（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系：（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由．【答案】B（1）115°；（2）90°-12∠A；（3）∠D=12∠A【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；∵∠A=50°，∴∠D=115°，故答案为：115°；（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠EBC+∠FCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；故答案为：90°﹣∠A；（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∠D=∠2﹣∠1=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是三角形的外