大物振动PPT

第6章机械振动图为我国返回式卫星开展环境等晶体研究用的搭载桶正在进行振动试验。3LiIO§6.1简谐振动一.弹簧振子的振动、单摆的小角度振动物体在其稳定平衡位置附近所作的往复运动称为机械振动，简称振动。1.弹簧振子的振动:线性恢复力kxF动力学方程makxF0dd222xtx)cos()(tωAtx动力学方程其中为固有(圆)频率mkω2.单摆的小角度振动gmmfN摆角正方向规定摆角正方向为逆时针方向切向方向分力：sinmgF22dtdmmmaF由上两式得：0sin22gdtd上式是非线性方程，当摆角很小时：sin0222dtd)cos(0tω其中为固有(圆)频率lgω二.简谐振动及其特征定义:特点:(1)等幅振动(2)周期振动x是描述位置的物理量,如y,z或等。)cos()(tωAtxmmxO)()(Ttxtx物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动。简谐振动物体的动力学特征物体受力的大小与离开平衡位置的位移（或角位移）成正比，方向总是指向平衡位置。方向总是指向平衡位置的力叫回复力。)2cos(tωAω)cos(vvtA速度振幅速度初相πtcosAdtda2)cos(aatA加速度振幅加速度初相tωsinAωdtdxv)cos()(tωAtx简谐振动物体的运动学特征三.简谐振动的振幅、周期、频率和相位1.振幅A（振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值）2.周期T频率vv=1/T(Hz)由初始条件求振幅)cos()(tωAtx)sin(tωAωvcos0Axsin0Aωv22020vxATtcosAtωcosAtx2T22T3.相位(1)(t+)是t时刻的相位(2)是t=0时刻的相位——初相圆（角）频率:在2秒内完成的完整振动的次数。由初始条件求初相)cos()(tωAtxcos0Ax)sin(tωAωvsin0Aωv)(tg001xv(3)相位的意义——决定质点的振动状态)cos()(tωAtx)sin(tAv)cos(2tAa相位已知则振动状态已知，相位改变2，振动重复一次。相位在2范围内变化，状态不重复。txOA-A=2相位差)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12角频率相等时是指两个振动在同一时刻的相位之差，或同一振动在不同时刻的相位之差同相和反相(同频率振动)当=2k两振动步调相同,称同相。xtoA1-A1A2-A2x1x2T同相当=(2k+1)两振动步调相反,称反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相超前和落后txOA1-A1A2-A2x1x2若=2-10,则x2比x1早达到正的最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。振动状态超前（或落后）End四.旋转矢量法t+oxxtt=0AAva特点:直观方便··)cos()(tAtxAA(1)(2)(3)Ax以角速度绕0点作逆时针方向匀速转动在时刻，与轴夹角为，矢量的末端在轴上投影点的运动是简谐振动0tx0AA)cos()(tAtx)sin(tAv)2cos(tA)cos(vvtA)cos(2tAa)cos(aatA例.(p165例6.3)如图所示为一谐振动的位移—时间曲线，写出振动方程。解：)cos(tωAxxA=6cm925.131tω初相(t=0)Ox/cmt/s631.5-33234或振动方程cm)3492cos(6tx竖直向上为正方向★旋转矢量一定要投影到x(位置坐标)轴上★tωΔΔ六.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)1.动能221vmEk)(sin2122tkA2max21kAEk241d1kAtETETttkk2.势能221kxEp)(cos2122tkA0minkE241d1kAtETETttpp周期性函数求平均值时,必须对一个整周期积分2ωmk3.机械能2222121AmkAEEEpk（简谐振动系统机械能守恒）PE势能曲线EkExO（1）当一个谐振子在振动过程中，它的动能和势能都是的函数。动能和势能都在作周期性变化。（周期为，角频率为）讨论t22T（2）谐振子在振动过程中的机械能守恒。（3）振幅由总能量决定，与外界无能量交换时，它将作等幅振动。22cos121)(sin21222tkAtkAEk例物理摆如图所示,设刚体对轴的转动惯量为J.设t=0时摆角向右最大为0.求振动周期和振动方程.解singhmM0singJhmsin,5时0gJhmJhmghmJTg2单摆g2lT振动方程tωcos0J例如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为l，质量为m，竖直部分杆长为2l，质量为2m，细杆可绕直角顶点处的固定轴O无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。求杆作微小摆动时的周期。解2g0lmlkxcos)(sing2cos2g0lxxklmlmMlx;sin;1cos)g2(2kllmMθkllmtθJ)g2(dd22222232)2(3131mllmmlJ）（03g2dd22mlklmtmlklm3g2klmmlTg23π2)cos(0tω能量的方法(t时刻系统的能量))sin21(g)(2121202lmxxkJECθlm)cos1(g20)g2(2kllmJ（其它步骤同上）上式对时间求导，得例:一质量为0.01kg的物体沿x轴作简谐振动，其振幅为0.12m，周期为T=2s。起始时刻，物体位移为0.06m，并向x轴的正方向运动。求（1）t=0.5s时物体所处位置和所受的力；（2）物体从x=-0.06m处向x轴负方向运动，回到平衡位置所需要的最短时间。解:（1）已知：mAxt06.0cos,0000abmA12.0sT212sradTkgm01.02mkNxmkxf321086.9mx10.0st5.0mtx)35cos(12.05.0cos35（2）物体从x=-0.06m处向x轴负方向运动，回到平衡位置所需要的最短时间。st833.065652tTst833.06565t所用时间为6523ab物体在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在图中a点，第一次回到平衡位置在图中b点。转过的角度为x（cm）t2初始条件:t=0，003定初相位:t=0，24531定振幅A:例:已知一简谐振动的位移—时间曲线如图所示，写出振动方程。解:已知振动方程表达式为)cos(tωAx（s）1pmA06.0mx03.0003.0cos06.00x5.0cos解出：3和35由初速度判别sinAω0v25O36cos0Axmtx)3565cos(06.0165srad4定圆频率:)35cos(06.0tωx351)35(25ttωp点t=1s，相位3对应的00舍去，则§6.2简谐振动的合成一.同方向同频率简谐振动的合成1.分振动:2.合振动:)cos()cos(2211tAtAtAAtAAsin)sinsin(cos)coscos(22112211cosAsinA)cos(sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx结论：合振动x仍是简谐振动讨论:(1)若两分振动同相,即21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0则A=A1+A2,两分振动相互加强，则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，旋转矢量法处理谐振动的合成当A1=A2时,A=2A111A2A2Ax2x1x21xxxO1221xxx)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA二.同方向不同频率的简谐振动的合成1.分振动:tωAxcos111tωAx222costω11A2Atω2Ax2x1x21xxxO2ω1ω2.合振动:21xxx当时,当时，合振动振幅的频率为:12122vvv结论：合振动不再是简谐振动21AAA21AAAπ2)(12ktωωπ)12()(12ktωωA有最大值A有最小值tωω)(12tAtAxxx2121coscos当21时,2-12+1，令其中，)2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt随t缓变随t快变ttAxcos)(同方向振幅相同、不同频率的简谐振动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(212122.合振动:1.分振动:结论：合振动x可以看作是振幅缓变的简谐振动。xx2x1ttt拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即1212π2)(vv/ωωv3.拍的现象OOO三.垂直方向同频率简谐振动的合成1.分振动2.合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx讨论当=2-1=k(k为整数)时:0221222212AyAxAyAx当=(2k+1)/2(k为整数)时：1222212AyAx合成分解021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAy=0(第一象限)=/2==3/2021AyAx1222212AyAxtAxcos1)cos(2tAy(第二象限)(第三象限)(第四象限)