定积分知识总结

定积分知识总结一、基本概念和性质（1）定义)()(lim)()()(,,,,0max...,)()(limlim)(11111111011iiniiniiniiiiiiiiiiiiiiiiininninniibanxxfxxfSxxfSISISIxxIxxnbxxxanbaxxfSdxxf④求极限：即③求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：dxxgdxxfdxxgxfabbabababa)()()()(12②线性运算性质：①）定积分的性质（0)()()(aaabbadxxfdxxfdxxf））（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：baccbadxxfdxxfdxxfbccaba,,,()()()(babababababadxxgdxxfxgxfxgxfbaxgxfxfxfdxxfxfxfbaxfdxxgdxxfxgxfbaxgxfdxxfxfbaxf)()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(＞则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④)()()(,,)()()()(,)(,)()()(,)(abfdxxfbabaxfabMdxxfabmMmbaxMxfmbaxfdxxfdxxfbaxfbabababa，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则在⑦若二、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数)(xf在区间],[ba上连续，对于任意],[bax，)(xf在区间],[xa上也连续，所以函数)(xf在],[xa上也可积.显然对于],[ba上的每一个x的取值，都有唯一对应的定积分xadttf)(和x对应，因此xadttf)(是定义在],[ba上的函数.记为xadttfx)()(，],[bax.称)(x叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数)(xf在区间],[ba上连续，则xadttfx)()(在],[ba上可导，且)()()()(bxaxfdttfdxdxxa定理2、3：如果)(xf在区间],[ba上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为xadttfx)()(.2、牛顿——莱布尼茨公式定理4（微积分基本公式）如果函数)(xf在区间],[ba上连续，且)(xF是)(xf的任意一个原函数，那么baaFbFdxxf)()()(.证由定理5.2知，xadttfx)()(是)(xf在区间],[ba的一个原函数，则)(x与)(xF相差一个常数C，即CxFdttfxa)()(.又因为CaFdttfaa)()(0，所以)(aFC.于是有)()()(aFxFdttfxa.所以baaFbFdxxf)()()(成立.为方便起见，通常把)()(aFbF简记为baxF)(或baxF)]([，所以公式可改写为)()()()(aFbFxFdxxfbaba三、定积分的积分法1、定积分的换元积分法定理1设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且满足下列条件：（1）)(tx，且)(a，)(b；（2）)(t在区间],[上单调且有连续的导数)(t；（3）当t从变到时，)(t从a单调地变到b.则有badtttfdxxf)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.2、定积分的分部积分法设函数)(xuu和)(xvv在区间],[ba上有连续的导数，则有)()()]()([)()(xduxvxvxuxdvxubababa.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(xu的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.四、定积分的应用1、定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：(1)将区间],[ba分成n个小区间，相应得到n个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为iA),2,1(ni；(2)计算iA的近似值，即iiixfA)(（其中],[,11iiiiiixxxxx）；(3)求和得A的近似值，即iniixfA1)(；(4)对和取极限得bainiidxxfxfA)()(lim10.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A）具有的特性：即A在区间],[ba上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的iiixfA)(是被积表达式dxxf)(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对iiixfA)(省略下标，得xfA)(，用],[dxxx表示],[ba内的任一小区间，并取小区间的左端点x为，则A的近似值就是以dx为底，)(xf为高的小矩形的面积（如图5.7阴影部分），即dxxfA)(.通常称dxxf)(为面积元素，记为dxxfdA)(.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[ba上“无限累加”，就得到面积A.即badxxfA)(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量x，并求出相应的积分区间],[ba；（2）在区间],[ba上任取一个小区间],[dxxx，并在小区间上找出所求量F的微元dxxfdF)(；（3）写出所求量F的积分表达式badxxfF)(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注能够用微元法求出结果的量F一般应满足以下两个条件：①F是与变量x的变化范围],[ba有关的量；②F对于],[ba具有可加性，即如果把区间],[ba分成若干个部分区间，则F相应地分成若干个分量.2、定积分求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(xfy和直线0,,ybxax所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(xgyxfy，))()((xgxf及直线bxax,所围成平面的面积A（如图5.8所示）.下面用微元法求面积A.①取x为积分变量，],[bax.②在区间],[ba上任取一小区间],[dxxx，该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高)()(xgxf，底边为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dxxgxfdA)]()([.③写出积分表达式，即badxxgxfA)]()([.⑶求由两条曲线)(),(yxyx，))()((yy及直线dycy,所围成平面图形（如图5.9）的面积.这里取y为积分变量，],[dcy，用类似(2)的方法可以推出：dcdyyyA)]()([.（2）极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(与射线)(,所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是],[，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(，中心角为d的圆扇形的面积，从而得面积微元为ddA2)]([21于是，所求曲边扇形的面积为dA2)]([21.3．定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线)0)()((xfxfy和直线bxax,及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成（如图5.15）.取x为积分变量，它的变化区间为],[ba，在],[ba上任取一小区间],[dxxx，相应薄片的体积近似于以)(xf为底面圆半径，dx为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dxxfdV2)]([，于是，所求旋转体体积为dxxfVbax2)]([.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积)(xA是x的已知连续函数，求该物体介于ax和)(babx之间的体积（如图5.19）.取x为积分变量，它的变化区间为],[ba，在微小区间],[dxxx上)(xA近似不变，即把],[dxxx上的立体薄片近似看作)(xA为底，dx为高的柱片，从而得到体积元素dxxAdV)(.于是该物体的体积为badxxAV)(.类似地，由曲线)(yx和直线dycy,及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dyyVdcy2)]([.4、平面曲线的弧长分类公式直角坐标设)(xfy为光滑曲线，则在],[ba弧段上弧长为：dxxfsba2)]('[1参数方程若光滑曲线由参数方程ttytx)()(给出，则曲线弧弧长为：dttts22)]('[)]('[极坐标若曲线弧由极坐标方程),(rr给出，且],[)(在r上具有连续导数，则曲线弧弧长为：drrs22)]('[)]([5、定积分在物理学上的应用分类公式变力沿直线作功若积分变量为)(bxax，变力的函数表达式为)(xf，则变力沿直线所作的功为：badxxfw)(水压力若将由曲线))()()((),(2121xfxfxfyxfy及直线)(,babxax所围成的平面薄板铅直放入水中，水的比重为，取x轴铅直向下，液面为y轴，则平面薄板一侧所受的压力为：dxxfxfxpba)]()([12引力当引力F的方向不随小区间],[xxx的改变而变化时，被积函数即为两质点间的引力221)(rmmGxf，其中r为两质点间的距离，G为引力系数，1m、2m分别为两质点的质量。当引力F的方向随小区间],[xxx的改变而变化时，将引力分解成x轴、y轴方向的二个分力，再分别用元素法得出定积分的表示式。