圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-1-页圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式0。2.解题时所使用的数学思想方法。（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】1.已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，抛物线2C的顶点在原点，准线与双曲线1C的左准线重合，若双曲线1C与抛物线2C的交点P满足212PFFF，则双曲线1C的离心率为（）A．2B．3C．233D．22解：由已知可得抛物线的准线为直线2axc，∴方程为224ayxc；圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-2-页由双曲线可知2(,)bPca，∴2224()bacac，∴222222bbaa，∴212e，3e．2．椭圆22221xyab（0ab）的两个焦点分别为F、2F，以1F、2F为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为（B）A．312B．31C．4(23)D．324解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得2112||:||:||1:3:2PFPFFF，所以由椭圆的定义及cea得：1212||22312||||31FFceaPFPF，故选B．变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e．3.（09浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．5D．10【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab，22222222(,),,ababababBCABabababab，因此222,4,5ABBCabe．答案：C4.（09江西理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为（）A．22B．33C．12D．13【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而可得33cea，故选B5.（08陕西理）双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为301F2FxOyP圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-3-页的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B）A．6B．3C．2D．336.（08浙江理）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D）（A）3（B）5（C）3（D）57.（08全国一理）在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．388.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）（A）2（B）3（C）312（D）512解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac220caac，解得512cea.9.（10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．解析：答案：33如图，设椭圆的标准方程为22xa＋22yb＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由BF＝2FD，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即2()2cxcby，解得322cxby，D(32c，－2b)．圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-4-页由D在椭圆上得：22223()()22bcab＝1，∴22ca＝13，∴e＝ca＝33.【解析1】33如图，22||BFbca,作1DDy轴于点D1,则由BF2FDuuruur，得1||||2||||3OFBFDDBD,所以133||||22DDOFc,即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233||()22accFDeaca又由||2||BFFD,得232,caaa33e【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,Dxy，F分BD所成的比为2，222230223330;122212222ccccybxbybbxxxcyy，代入222291144cbab，33e10.（07全国2理）设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF且123AFAF，则双曲线的离心率为（B）A．52B．102C．152D．5解12222212222102()()(2)10AFAFAFacaeAFAFcì-==ïï??íï+=ïî11.椭圆22221(0,0)xyabab的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45o的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为:。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点A,AAxy，B,BBxy，由焦半径公式可得32ABaexaex，圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-5-页则2()3()ABaexaex，变形2()ABBaexaexaex，所以2()ABBexxaex因为直线倾斜角为45o，所以有22225eABAB，所以25e提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。解法（二）：1125BEBFABee1135ADAFABee22ACABADBEAC13122552ABABABee25e12.（10辽宁理）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB.椭圆C的离心率；解：设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知1y＜0，2y＞0.（Ⅰ）直线l的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-6-页解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFB，所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab得离心率23cea.……6分13.A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=2,则椭圆离心率的范围是_________.解析：设椭圆方程为2222byax=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得222abax2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=2ea－a,0＜x2＜a，即0＜2ea－a＜a22＜e＜1.答案：22＜e＜114.在椭圆22221(0)xyabab上有一点M，12,FF是椭圆的两个焦点，若2212MFMFb，椭圆的离心率的取值范围是;解析:由椭圆的定义，可得212MFMFa又2212MFMFb，所以21,MFMF是方程22220xaxb的两根，由22(2)420ab，可得222ab，即2222()aca所以22cea，所以椭圆离心率的取值范围是2[,1)215.（08湖南）若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)解析由题意可知2233()()22aaaeacc即331122ee解得2e故选B.16.（07北京）椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，圆锥曲线的相关离心率问题共12页本页为第-7-页若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．1(0]2，Ｂ．2(0]2，Ｃ．1[1)2，Ｄ．2[1)2，解析由题意得2222acc∴22e故选D.17.（07湖南）设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．2(0]2，B．3(0]3，C．2[1)2，D.3[1)3，分析通过题设条件可得22PFc，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：∵线段1PF的中垂线过点2F，∴22PFc，又点P在右准线上，∴22aPFcc即22accc∴33ca∴313e，故选D.点评建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18.（08福建理）双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断0xa³解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=2a，|PF2